Sur la sommation des sèries de fonctions orthogonales. (French) JFM 53.0266.01

Zygmund, A.

Bulletin Acad. Polonaise (A) 1927, 295-308 (1927).

Verf. erweitert Sätze von Menchoff [Fundam. Math. 8, 56–108 (1926; JFM 52.0277.01)] aus der Theorie der Orthogonalreihen. Es bedeute \(\{\varphi_\nu(x)\}\) ein normiertes Orthogonalsystem, und es sei \[ \sum a_\nu\varphi_\nu(x) \tag{1} \] eine formal gebildete Orthogonalreihe. Dann wird bewiesen:
Satz I. Ist \(\{\lambda_i\}\) eine Folge positiver, monoton wachsender Zahlen, für die \(\lim\limits_{i\to\infty}\lambda_i=\infty\), ist ferner \(\sum a_\nu^2\) sowie \(\sum a_\nu(\log\log \nu)^2\) konvergent, dann ist die Reihe (1) fast überall im Definitionsbereiche \((\lambda,\delta)\)-summierbar für jedes \(\delta>0\). [\((\lambda,\delta)\) bedeutet hiebei das typische Mittel, welches durch die Folge \(\{\lambda_i\}\) bestimmt wird.] – Ist ferner \(\omega (x)\) eine positive Funktion, die der Bedingung \[ \omega(x)=o[(\log\log x)^2] \] genügt, so kann man ein normiertes Orthogonalsystem und eine Zahlenfolge \(\{a_\nu\}\) angeben, so daß die Reihe (1) in keinem Punkte des Definitionsintervalles \((\lambda,\alpha)\)-summierbar ist (\(\alpha > 0\)), wenn auch die Bedingung \[ \sum a_\nu^2\omega(\lambda_\nu)<\infty \] erfüllt ist.
Satz II. Ist die Reihe (1) für ein positives \(\alpha\) in einer Menge \(E\) des Definitionsbereiches \((\lambda,\alpha)\)-summierbar, so ist dieselbe, falls \(\sum\limits_{\nu=1}^\infty a_\nu^2\) konvergiert, fast überall in \(E(\lambda,\delta)\)-summierbar für jedes \(\delta>0\).
Satz III. Ist \(\sum a_\nu^2\nu^{2\gamma}\log\nu\) konvergent, so ist die Reihe (1) fast überall \((C,-\gamma)\)-summierbar \((0 < \gamma < 1)\).

Reviewer: Jacob, M., Dr. (Triest)

JFM Section:

Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 3. Allgemeine Theorie der reellen Funktionen. D. Trigonometrische Reihen und Verwandtes.

Citations:

JFM 52.0277.01