Grundzüge der theoretischen Logik. (German) JFM 54.0055.01

Hilbert, D.; Ackermann, W.

Berlin: J. Springer (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Bd. 27). VIII, 120 S. (1928).

Diese neue Darstellung der mathematischen Logik zeigt den gesamten Stoff in einer sehr einfachen Gliederung.
Das erste Kapitel ist dem Aussagenkalkül gewidmet. Das System von Axiomen, das hier benützt wird, stimmt im wesentlichen überein mit demjenigen, welches dem von Whitehead und Russell geschaffenen Werke, den Principia Mathematica, angehört. Doch zeigt sich darin ein Fortschritt, daßeines der fünf formalen Axiome der Principia Mathematica beseitigt werden konnte; die betreffende Formel wird im System Hilberts bewiesen, und es wird darauf hingewiesen, daßes das Verdienst von P. Bernays ist, die Beweisbarkeit dieser Formel erkannt zu haben.
Im zweiten Kapitel werden der Prädikaten- und Klassenkalkül entwickelt. Die Unterscheidung dieser beiden nah verwandten Rechnungsweisen beruht letzten Endes auf dem Unterschied von Inhalt und Umfang des Begriffes, da die Prädikate Inhalte und die Klassen Umfänge von Begriffen sind. Die Verbindung des Prädikatenkalküls mit dem Aussagenkalkül macht es möglich, eine systematische Ableitung der traditionellen Aristotelischen Schlüsse zu geben.
Der engere Funktionenkalkül, der im dritten Kapitel behandelt wird, ist dadurch ausgezeichnet, daßbei der Darstellung der Aussagen nicht nur die Prädikate oder Eigenschaften, sondern auch die Subjekte oder Individuen ausdrücklich bezeichnet werden. Die Formeln dieses Kalküls werden auf Grund eines einfachen Systems von Axiomen in äußerst durchsichtiger Weise entwickelt. Es wird auch gezeigt, inwieweit das Entscheidungsproblem, d. h. die Fragen nach der Allgemeingültigkeit und der Erfüllbarkeit eines logischen Ausdruckes, innerhalb des Funktionenkalküls lösbar ist. Bekanntlich ist das Entscheidungsproblem auf elementarer Stufe, d. h. im Aussagenkalkül, stets in sehr einfacher Weise lösbar, während es auf überelementarer Stufe, d. h. im Gebiete des Funktionenkalküls, nur unter bestimmten Bedingungen, also nicht allgemein lösbar ist. In dem Entscheidungsproblem sieht Hilbert das Hauptproblem der mathematischen Logik.
Das letzte Kapitel bringt den erweiterten Funktionenkalkül zur Darstellung. Während im engeren Funktionenkalkül nur Individuen als Träger von Eigenschaften und Beziehungen auftreten, werden im erweiterten Funktionenkalkül auch Prädikate als Gegenstände betrachtet, denen Eigenschaften zukommen, und zwischen denen Beziehungen bestehen. Diese Auffassungsweise erweist sich als äußerst fruchtbar, indem es so möglich wird, die natürlichen Zahlen mit Hilfe rein logischer Zeichen darzustellen. Beispiele solcher Darstellungsweisen sind die Definitionen der Zahlen 0, 1 und 2, die in §2 dieses Kapitels gegeben werden. Diese Tatsache ist sicherlich geeignet, den Wert der mathematischen Logik in ein helles Licht zu rücken; und der erweiterte Funktionenkalkül erscheint dadurch als ein Bindeglied zwischen der mathematischen Logik und den übrigen mathematischen Disziplinen.
Besprechungen: G. Feigl; Jahresbericht D. M. V. 39 (1930), 11-12 kursiv. C. H. Langford; Bulletin A. M. S. 36 (1930), 22-25. J. Herbrand; Rev. générale des sc. 39 (1928), 614.

Reviewer: Dürr, K., Prof. (Zürich)

JFM Section:

Erster Abschnitt. Geschichte Philosophie, Pädagogik. Kapitel 2. Philosophie.