Zur Theorie des arithmetisch-geometrischen Mittels. (German) JFM 54.0404.03

Geppert, H.

Math. Ann. 99, 162-180 (1928).

Siehe zu dieser Arbeit die vorstehende Besprechung. Die vorliegende Arbeit ergänzt letztere nach der geometrischen Seite. Sie deckt den Zusammenhang der unendlich vielen möglichen Algorithmen des arithmetisch-geometrischen Mittels mit ihrer Uniformisierung auf und deutet diese Verknüpfung geometrisch in der Ebene der uniformisierenden Variablen. Die Uniformisierung geschieht durch Einführung der Jacobischen Thetanullwerte. Durch deren Transformationsgleichungen wird man sofort auf die Gruppe der Substitutionen geführt, die den verschiedenen Werten des Mittels entspricht. Speziell wird der Algorithmus untersucht, der dem Fundamentalbereich entspricht. Ein Algorithmus heißt regulär oder irregulär, je nachdem von einer bestimmten Zahl \(\nu\) an \(R(b_\nu/a_{\nu-1}) \geqq 0\) ist, wo \(a_\nu\) das \(\nu\)te arithmetische Mittel, \(b_\nu\) das \(\nu\)-te geometrische Mittel ist, oder nicht. Nur die regulären Algorithmen können durch Theatanullwerte uniformisiert werden.

Reviewer: Fueter, R., Prof. (Zürich)

JFM Section:

Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 6. Besondere Funktionen. D. Elliptische Funktionen nebst Anwendungen. Elliptische Modulfunktionen.

References:

[1]	Ludwig von Dávid: Theorie des Gaußschen verallgemeinerten und speziellen arithmetisch-geometrischen Mittels. Math.-naturw. Berichte aus Ungarn25 (1907), S. 153-171.
[2]	?? Sur une application des fonctions modulaires à la théorie de la moyenne arithmético-géométrique. Math.-naturw. Berichte aus Ungarn27 (1909), S. 164-171.
[3]	??: Zur Gaußschen Theorie der Modulfunktion. Rendiconti di Palermo35 (1913), S. 82-89. · JFM 44.0526.03 · doi:10.1007/BF03015591
[4]	Ludwig von Dávid: Arithmetisch-geometrisches Mittel und Modulfunktion. Erscheint im Journal für reine und angew. Math.159 (1928).
[5]	Carl Friedrich Gauß: Werke3 (1866), S. 361-401; 461-478; herausgegeben von E. Schering.
[6]	??: Werke8 (1900), S. 99-105; herausgegeben von R. Fricke.
[7]	??: Werke10, 1 (1917), S. 172-289; herausgegeben von L. Schlesinger.
[8]	Carl Friedrich Gauß: Anziehung eines elliptischen Ringes und Nachlaß zur Theorie des arithmetisch-geometrischen Mittels und der Modulfunktion, herausgegeben von Harald Geppert, Ostwalds Klassiker225 (1927). · JFM 53.0023.02
[9]	Ludwig Schlesinger: Über die Gaußsche Theorie des arithmetisch-geometrischen Mittels und ihre Beziehungen zur Theorie der elliptischen Modulfunktion. Sitzungsberichte der Preuß. Akad. d. Wiss.28, (1898), S. 346-360. · JFM 29.0389.01
[10]	Ludwig Schlesinger: Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichungen2, 2. Leipzig (1898).
[11]	Ludwig Schlesinger, C. F. Gauß: Fragmente zur Theorie des arithmetisch-geometrischen Mittels aus den Jahren 1797-1799. Materialien für eine wissenschaftliche Biographie von Gauß, Heft 2 (1912). · JFM 43.0023.01
[12]	Ludwig Schlesinger: Über Gauß’ Arbeiten zur Funktionentheorie. Materialien für eine wissenschaftliche Biographie von Gauß, Heft 3 (1912). · JFM 43.0023.02