Affinely connected function space manifolds. (English) JFM 54.0428.01

Michal, A. D.

Amer. J. 50, 473-517 (1928).

Die Arbeit überträgt die Invariantentheorie und den absoluten Differentialkalkül vom endlich viel dimensionalen Raum auf den unendlich viel dimensionalen Raum der reellen stetigen Funktionen einer unabhängigen Variablen. Die Rolle der linearen homogenen Transformationagruppe, die der algebraischen Invariantentheorie in \(n\) Variablen zugrunde liegt, wird hier von der Fredholmschen Transformationsgruppe \[ y(i)=\overline{y}(i)+\int_a^b K(\alpha,i)y(\alpha) d \alpha \] mit nicht verschwindender Determinante übernommen. Zwecks völligen Anschlusses an die Tensoranalysis werden die Variablen als obere und untere Indices geschrieben und die Konvention getroffen, daßbei einer Integration über einen Buchstaben, der als oberer und unterer Index auftritt, das Integralzeichen weggelassen werden soll. So kann z. B. die Fredholmsche Gruppe einfach so geschrieben werden: \[ y^i=\overline{y}^i+K_\alpha^i \overline{y}^\alpha. \] Es wird nun eine bestimmte Sorte von quadratischen Funktionalformen zugrunde gelegt: \[ g_{\alpha \beta}y^\alpha y^\beta+\int_a^b (y^\alpha)^2 d \alpha,\;g_{\alpha \beta}=g_{\beta \alpha}. \] Die Transformationsgruppe, die durch die Fredholmsche Gruppe in den Koeffizienten dieser Form induziert wird (derart daß \[ g_{\alpha \beta}y^\alpha y^\beta+\int_a^b (y^\alpha)^2 d \alpha=\overline{g}_{\alpha \beta} \overline{y}^\alpha \overline{y}^\beta+\int_a^b(\overline{y}^\alpha)^2 d \alpha \] ist), hat nichthomogenen linearen Charakter: \[ \overline{g}_{\alpha \beta}=g_{\alpha \beta}+g_{\gamma \beta} K_\alpha^\gamma +g_{\gamma \delta} K_\alpha^\gamma K_\beta^\delta +K_\alpha^\beta+K_\beta^\alpha +\int_a^b K_\alpha^\gamma K_\beta^\gamma d \gamma. \] Ein Funktional \(f\) von \(g_{\alpha \beta}\) heißt eine relative skalare Funktionalinvariante vom Gewicht \(w\) der quadratischen Form, wenn \[ f[\overline{g}_{\alpha \beta}]=(D[K_\nu^\mu])^w f[g_{\alpha \beta}] \] ist, wo \(D\) die Determinante der Fredholmschen Transformation bedeutet.
Beispiel: \(D[g_{\alpha \beta}]\) ist eine skalare Invariante vom Gewicht 2.
Ein Funktional \(f\) von \(g_{\alpha \beta}\), das noch von je einer Reihe von oberen und unteren Indices abhängt, heißt eine relative Funktionalinvariante vom Gewicht \(w\) der quadratischen Form, wenn es ein festes Funktional \(\varphi\) von vier Argumenten gibt, das auch noch von jenen zwei Indicesreihen abhängt, derart daß \[ f_{\lambda \dots \sigma}^{\gamma \dots \varepsilon}[\overline{g}_{\alpha \beta}] =\varphi_{\lambda \dots \sigma}^{\gamma \dots \varepsilon} [f_{l \dots s}^{c \dots e}[g_{\alpha \beta}], g_{ij}, K_q^p,k_v^u](D[K_\beta^\alpha])^w \] gilt, wobei \(k_v^u\) der lösende Kern zu \(K_v^n\) ist.
Beispiel: Der lösende Kern zu \(g_{\alpha \beta}\) ist eine absolute Invariante (Gewicht 0), der erste Fredholmsche Minor eine Invariante vom Gewicht 2.
Nun lassen sich unter Zugrundelegung einer gewissen Untergruppe kovariante und kontravariante Funktionalvektoren sowie Funktionaltensoren definieren und die Analoga zu den Begriffen der Riemannschen und allgemeineren Geometrien aufstellen: lineare Verschiebung, affin zusammenhängende Raummannigfaltigkeit, Parallelverschiebung, Krümmungstensor, affine Funktionalinvariante. Die geodätischen Linien der affin zusammenhängenden Mannigfaltigkeit werden durch die Lösungen einer gewissen Integrodifferentialgleichung definiert, wodurch sich geodätische und normale Koordinaten gewinnen lassen. Letztere hängen eng mit den Fredholmschen Integralgleichungen zusammen. Schließlich wird eine funktionale Invariantentheorie der quadratischen Differential(funktional)formen entwickelt und zum Aufbau einer Theorie der Riemannschen Funktionalraummannigfaltigkeiten verwandt.

Reviewer: Doetsch, G., Prof. (Freiburg im Breisgau)

JFM Section:

Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 7. Integralgleichung. Funktionen unendlich vieler Veränderlicher. Funktionalanlysis.