The general geometry of paths. (English) JFM 54.0757.06

Douglas, J.

Annals of Math. (2) 29, 143-168 (1928).

In einem \(N\)-dimensionalen Raum \((x^1,\dots,x^N)\) wird eine \((2N-2)\)parametrige, analytische Kurvenschar zugrunde gelegt mit der Eigenschaft, daß durch je zwei nicht zu weit entfernte Punkte oder durch einen Punkt und eine Richtung genau eine Kurve der Schar geht. Diese Schar sei dargestellt durch \[ x^i=f^i(t,a)\;(i=1,2,\dots,N), \] wobei \(t\) der Parameter auf der einzelnen Kurve und \(a\) eine Abkürzung für \(2N-2\) Scharparameter ist. Es werden nun Eigenschaften dieser Kurvenschar untersucht, die invariant bleiben bei beliebigen eineindeutigen, analytischen Koordinatentransformationen, bei beliebigen eineindeutigen, analytischen Transformationen der Scharparameter \(a\) und bei einer gewissen Gruppe von Transformationen des Kurvenparameters \(t\), in der die \(a\) als Parameter auftreten. Es werden drei solche Gruppen untersucht: (1) die Gruppe aller analytischen Transformationen \(t=\varphi(\tau,a)\), (2) die Gruppe der affinen Transformationen \(t=\alpha(a)\tau+\beta(a)\), (3) die Gruppe der metrischen Transformationen \(t=\tau+\beta(a)\). Im ersten Fall entsteht die “deskriptive”, im zweiten die “affine”, im dritten die “metrische” Geometrie der Bahnkurven (geometry of paths).
Die Hauptresultate sind die folgenden: Jede Kurvenschar der oben angegebenen Art ist Lösung eines Systems von gewöhnlichen Differentialgleichungen \[ \frac{d^2x^i}{dt^2}=H^i \left( x,\frac{dx}{dt} \right) \;(i=1,2,\dots,N), \] wo \(H\) homogen vom zweiten Grad in den \(\frac{dx}{dt}\) ist. [Die von Eisenhart und Veblen (1922; F. d. M. 48, 842 (JFM 48.0842.*)) begründete “geometry of paths” beschäftigt sich mit dem Spezialfall, daß die \(H\) quadratische Formen in den \(\frac{dx}{dt}\) sind.] Im Fall der affinen Geometrie der Bahnkurven besitzt der Raum einen affinen Zusammenhang. Im metrischen Fall läß t sich eine Metrik \(ds^2=F(x,dx)\) einführen, wo \(F\) in den \(dx\) homogen vom zweiten Grade ist. Die Bahnkurven sind die kürzesten Linien dieser Metrik, und \(t\) ist die Bogenlänge auf ihnen. Diese Geometrie ist also identisch mit der von Finsler (1918; F. d. M. 46, 1131 (JFM 46.1131.*)) und Berwald (M. Z. 25 (1926), 40-73; F. d. M. 52) entwickelten Geometrie der allgemeinen metrischen Räume. Für die deskriptive und affine Geometrie der Bahnkurven werden die Grundlagen des Tensorkalküls entwickelt.

Reviewer: Fenchel, W., Dr. (Göttingen)

JFM Section:

Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 6. Differentialgeometrie. C. Differentialgeometrie in mehrdimensionalen und allgemeinen Räumen.

Citations:

JFM 48.0842.*; JFM 46.1131.*