Sur la détermination d’un système orthogonal complet dans un espace de Riemann symétrique clos. (French) JFM 55.1029.01

Cartan, E.

Rendiconti Palermo 53, 217-252 (1929).

E sei ein geschlossener Riemannscher Raum, der eine (geschlossene) transitive Gruppe \(G\) von Bewegungen in sich zuläßt. Eine “Reihe von Fundamentalfunktionen” nennt Verf. ein System von Funktionen eines in \(E\) variablen Punktes, die sich (vermittels der Transformationen einer zu \(G\) isomorphen linearen Gruppe \(\varGamma \)) durch die Transformationen von \(G\) linear transformieren. Offenbar ist jede solche Reihe von Funktionen durch eine Funktion der Reihe bestimmt; Verf. zeigt, daß alle und nur die irreduziblen Reihen von Fundamentalfunktionen, die durch dieselbe lineare Darstellung \(\varGamma \) von \(G\) in sich transformiert werden, erhalten werden können, indem man ausgeht von den linearen Invarianten der Untergruppe \(\gamma \) von \(\varGamma \), die der “Isotropiegruppe” \(g\) in bezug auf den Anfangspunkt \(O\), d. h. der “Stabilitätsuntergruppe” von \(O\) in \(G\) entspricht. Vermittels rein algebraischer Betrachtungen zeigt Verf., daß die Reihen von Fundamentalfunktionen, die den einzelnen linearen Invarianten der Untergruppen \(\gamma \), die mit Hilfe aller irreduziblen linearen Darstellungen von \(G\) konstruiert werden, entsprechen, ein Orthogonalsystem in \(E\) bilden; durch elegante Anwendung der Theorie der Integralgleichungen zeigt er, daß ein solches Orthogonalsystem vollständig ist. Verf. geht dann zur Untersuchung des Falles über, daß \(E\) ein geschlossener symmetrischer Riemannscher Raum ist (d. h. daß die Symmetrie bezüglich eines beliebigen Punktes von \(E\) eine Isometrie ist). In diesem Falle kann jeder irreduziblen linearen Darstellung von \(G\) nur eine Reihe von Fundamentalfunktionen entsprechen. Mehr in die Tiefe, bis zur wirklichen Konstruktion aller Reihen von Fundamentalfunktionen, führt Verf. die Untersuchung für die irreduziblen geschlossenen symmetrischen Räume, in denen die umfassendste kontinuierliche Gruppe von Bewegungen einfach ist. Die vielen interessanten Eigenschaften, die er erhält, sind Verallgemeinerungen von Eigenschaften aus der bekannten Theorie der sphärischen Funktionen von Laplace. Diese Theorie entspricht dem Falle, in dem \(E\) ein “elliptischer Hermitescher” Raum von einer (komplexen) Dimension ist; allgemeiner betrachtet Verf. als Anwendung der Theorie den Fall der elliptischen Hermiteschen Räume von \(n\) Dimensionen (die ausführlich untersucht sind in dem neueren Buch des Verf. “Leçons sur la géométrie projective complexe” (1931; F. d. M. 57), p. 235 u. folg.) und den der einfach zusammenhängenden sphärischen Räume von \(n\) Dimensionen.

Reviewer: Enea Bortolotti, Prof. Enea (Florenz)

JFM Section:

Zweiter Halbband. Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 6. Differentialgeometrie. C. Differentialgeometrie in mehrdimensionalen und allgemeinen Räumen.

References:

[1]	F. Peter undH. Weyl,Die Vollständigkeit der primitiven Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe [Mathematische Annalen, Bd. 97 (1927), p. 737–755]. Voir aussiH. Weyl,Sur la représentation des groupes continues [L’Enseignement mathématique, t. 26 (1927), p. 226–239]. · JFM 53.0387.02
[2]	Voir par exempleT. Lalesco,Introduction à la théorie des équations intégrales (Paris, Hermann, 1912), p. 64.
[3]	Lalesco, loc. cit. 5). p. 69.
[4]	E. Cartan, E. Cartan,Les groupes projectifs qui ne laissent invariante aucune multiplicité plane [Bulletin de la Société Mathématique de France, t. 41 (1913), p. 53–96]. · JFM 44.0170.02
[5]	Ces espaces ont fait l’objet de deux mémoires fondamentaux:E. Cartan,Sur une classe remarquable d’espaces de Riemann [Bulletin de la Société Mathématique de France, t. 54 (1926), p. 214–264 et t. 55 (1927), p. 114–134];Sur certaines formes riemanniennes remarquables des géométries à groupe fondamental simple [Annales scientifiques de l’École Normale supérieure, 3e série, t. 44 (1927), p. 345–467].
[6]	l. c. 9),, p. 431.
[7]	l. c. 9),, p. 368.
[8]	l. c. 9),, p. 426.
[9]	, p. 351–356.
[10]	l. c. 9),, p. 427.
[11]	E. Cartan,Complément au mémoire “Sur la Géométrie des groupes simples{” [Annali di matematica pura ed applicata, 4e série, t. V (1928), p. 253–260].} · JFM 54.0445.06
[12]	l. c. 9),, p. 357.
[13]	l. c. 9),, p. 356.
[14]	L’espaceE obtenu est l’espace hermitien elliptique; c’est, dans ma classification des espaces symétriques irréductibles clos, l’espace du type (A IV) [l. c.9), p. 466–447].
[15]	C’est, avec les notations de mon mémoire déjà cité 8)
[16]	Voir à ce sujetH. Weyl,Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen I [Mathematische Zeitschrift, Bd. 23 (1925), p. 271–316], p. 300. · JFM 51.0319.01
[17]	C’est l’espace symétrique irréductible du type (B D II) [l. c. 9), p. 450–451].
[18]	l. c. 9), p. 430.
[19]	Cfr.E. Cartan,Leçons sur la géoméirie des espaces de Riemann (Paris, Gauthier-Villars, 1928), p. 88.
[20]	Cette surface a fait l’objet d’une note récente deO. Bourvka,Sur une classe de surfaces minima plongées dans un espace à quatre dimensions à courbure constante [Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences, t. 187, (2e semestre 1928), p. 334–336].
[21]	Cela tient à ce que tous les espaceE’ sont des espaces de recouvrement pour un espace particulierE u, dont de groupe de connexion est fini [l. c. 9), p. 430].