Bernstein, S. Sur la limitation des dérivées des polynomes. (French) JFM 56.0301.02 C. R. 190, 338-341 (1930). Es wird zunächst der folgende Satz bewiesen:Es sei \(P_n(z)\) ein beliebiges Polynom \(n\)-ten Grades, \(H_l(z)\) ein Polynom \(l\)-ten Grades, von dem keine Wurzel außerhalb des Einheitskreises liegt, und es sei \(l\leqq n\). Wenn dann auf dem Einheitskreise \[ |P_n(z)|\leqq |H_l(z)| \] gilt, so gilt dort auch für jedes \(k\): \[ \Bigl|P_n^{(k)}(z)\Bigr|\leqq \Bigl|\bigl[z^{n-l} H_l(z)\bigr]^{(k)}\Bigr|. \]Dieser Satz wird auf trigonometrische Polynome übertragen; ferner wird der folgende Satz über Polynome im Reellen gefolgert:Es seien \(M(x)\) und \(N(x)\) zwei reelle Polynome der Grade \(l\) und \(l - 1\), die für \(x > 1\) beide positiv sind, und deren Wurzeln sämtlich in \(\langle - 1, + 1\rangle\) liegen und sich gegenseitig trennen. Wenn dann auf \(\langle - 1, + 1\rangle\) die Ungleichung \[ |P_n(x)|\leqq \sqrt{M^2(x)+(1-x^2)N^2(x)} \] gilt, dann gilt dort auch: \[ \begin{split} |P_n^\prime(x)\sqrt{1-x^2}| \\ \leqq \sqrt{[(n-l)M(x)+xN(x)+(x^2-1)N'(x)]^2+ (1-x^2)[(n-l)N(x)+M'(x)]^2}.\end{split} \] (III 3.) Reviewer: Feigl, G., Prof. (Breslau), Pietsch, H. (Berlin) Cited in 1 ReviewCited in 73 Documents JFM Section:Erster Halbband. Vierter Abschnit. Analysis. Kapitel 6. Besondere Funktionen. A. Elementare Funktionen. Die \(\varGamma\)-Funktion und verwandte Funktionen. PDFBibTeX XMLCite \textit{S. Bernstein}, C. R. Acad. Sci., Paris 190, 338--341 (1930; JFM 56.0301.02) Full Text: Gallica