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Sur la limitation des dérivées des polynomes. (French) JFM 56.0301.02

Es wird zunächst der folgende Satz bewiesen:
Es sei \(P_n(z)\) ein beliebiges Polynom \(n\)-ten Grades, \(H_l(z)\) ein Polynom \(l\)-ten Grades, von dem keine Wurzel außerhalb des Einheitskreises liegt, und es sei \(l\leqq n\). Wenn dann auf dem Einheitskreise \[ |P_n(z)|\leqq |H_l(z)| \] gilt, so gilt dort auch für jedes \(k\): \[ \Bigl|P_n^{(k)}(z)\Bigr|\leqq \Bigl|\bigl[z^{n-l} H_l(z)\bigr]^{(k)}\Bigr|. \]
Dieser Satz wird auf trigonometrische Polynome übertragen; ferner wird der folgende Satz über Polynome im Reellen gefolgert:
Es seien \(M(x)\) und \(N(x)\) zwei reelle Polynome der Grade \(l\) und \(l - 1\), die für \(x > 1\) beide positiv sind, und deren Wurzeln sämtlich in \(\langle - 1, + 1\rangle\) liegen und sich gegenseitig trennen. Wenn dann auf \(\langle - 1, + 1\rangle\) die Ungleichung \[ |P_n(x)|\leqq \sqrt{M^2(x)+(1-x^2)N^2(x)} \] gilt, dann gilt dort auch: \[ \begin{split} |P_n^\prime(x)\sqrt{1-x^2}| \\ \leqq \sqrt{[(n-l)M(x)+xN(x)+(x^2-1)N'(x)]^2+ (1-x^2)[(n-l)N(x)+M'(x)]^2}.\end{split} \] (III 3.)

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Full Text: Gallica