On semi-metric spaces. (English) JFM 57.0735.01

Wilson, Wallace Alvin

Amer. J. 53, 361-373 (1931).

Ein \(E\)-Raum oder semimetrischer Raum, d. h. ein Raum, in dem eine Entfernung definiert ist, die allen Axiomen mit Ausnahme der Dreiecksrelation genügt, und in dem ein Limesbegriff wie im metrischen Raum definiert ist, erfülle außerdem eins der drei folgenden Axiome:
(3) Zu jedem Punktepaar \(a, b\) existiert eine Zahl \(r > 0\), so daß für jeden Punkt \(c\) \(ac + bc \geqq r\) ist.
(4) Zu jedem Punkt \(a\) und jeder Zahl \(k > 0\) existiert eine Zahl \(r > 0\), so daß für je zwei Punkte \(a\) und \(b\), für die \(ab \geqq k\) ist, und für jeden beliebigen Punkt \(c\) \(ac + bc \geqq r\) ist.
(5) Zu jeder Zahl \(k > 0\) existiert eine Zahl \(r > 0\), so daß für je zwei Punkte \(a\) und \(b\) mit \(ab \geqq k\) und für jeden beliebigen Punkt \(c\) \(ac + bc \geqq r\) ist.
E. W. Chittenden hat 1917 (F. d. M. 46, 288 (JFM 46.0288.*)) gezeigt, daß ein \(E\)-Raum, der (5) erfüllt, homöomorph mit einem metrischen Raum ist. Verf. zeigt, daß es genügt, das schwächere Axiom (4) zu fordern, und daß die Gültigkeit von (5) eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür ist, daß der \(E\)-Raum gleichmäßig homöomorph mit einem metrischen Raum ist.
Die \(E\)-Räume, die (4) erfüllen, spielen eine Rolle bei den stetigen Zerlegungen eines metrischen Raumes \(Z\) in abgeschlossene fremde Mengen. Deutet man die Elemente \(X, Y, \dots\) der Zerlegung als Punkte eines Raumes \(Z^\prime\), in dem die Entfernung \(XY\) als die in \(Z\) gemessene Entfernung der Mengen \(X\) und \(Y\) definiert ist, so ist \(Z^\prime\) ein solcher Raum.
Schließlich wird untersucht, welche Axiome einen topologischen Raum zu einem semimetrischen Raum machen.

Reviewer: Von Caemmerer, Hanna (Berlin)

JFM Section:

Erster Halbband. Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 2. Topologie.

Citations:

JFM 46.0288.*