Schriften. (German) JFM 57.1304.03

Bolzano, B.

Herausgegeben von der Königl. Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften in Prag. Bd. II: Zahlentheorie. Herausgegeben und mit Anmerkungen versehen von K. Rychlík. 57 + 7 S. Prag (1931).

In diesem aus Bolzanos Nachlaß in drei Fassungen erhaltenen Manuskript, das hier nach der dritten Fassung wiedergegeben ist und dort den Titel “Verhältnis der Theilbarkeit unter den Zahlen” trägt, werden die grundlegenden Sätze über die Teilbarkeit der natürlichen Zahlen und über ihre Zerlegung in Primfaktoren bewiesen. Die breit gehaltene Darstellung geht von den Begriffen der Teilbarkeit, der (ohne Bezeichnung bleibenden) Kongruenz und des Divisionsverfahrens mit absolut kleinstem Rest aus, führt dann die Teilerfremdheit ein, wobei sofort zwischen in ihrer Gesamtheit (“im weiteren Sinne”) und paarweise (“im engeren Sinne”) teilerfremden Zahlen beliebiger Anzahl unterschieden wird, und behandelt nach einem Exkurs über Primzahlen die Theorie der teilerfremden Zahlen in völlig primzahlfreier, also den Methoden der modernen Algebra entsprechender Fassung unter Verwendung des euklidischen Algorithmus. Als Folgerung wird die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung gewonnen. Es folgen verkappte Systeme linearer Kongruenzen, die Eulersche Funktion \(\varphi(n)\) (ohne Bezeichnung), die zunächst für quadratfreies und dann durch schrittweises Anhängen von Faktoren für beliebiges \(n\) berechnet wird, die Teileranzahl und -summe einer gegebenen Zahl und die Darstellung einer Primzahl als Summe von vier Quadraten, die auf den folgenden Lagrangeschen Hilfssatz zurückgeführt wird: Sind \(a\) und \(b\) ganz, \(p\) eine in a nicht aufgehende ungerade Primzahl, so gibt es ganze Zahlen \(x\), \(y \) mit \(|x|<\dfrac p2\), \(|y|<\dfrac p2\), für die \(x^2 - ay^2 -b\) durch \(p\) teilbar ausfällt. (Verf. verallgemeinert diesen Hilfssatz in unzulässiger Weise; der Herausgeber bemerkt dies und beweist den richtigen Hilfssatz durch einen älteren Schubfachschluß.) Doch zeigt der Herausgeber in dem anschließenden Beweis für die Zerfällung der Primzahlen in vier Quadrate noch eine Lücke auf und füllt diese aus. Daß aus dem Ergebnis durch Multiplikation auch die Zerfällung aller natürlichen Zahlen in vier Quadrate hervorgeht, wird vom Verf. ohne Angabe der Eulerschen Identität als selbstverständlich ausgesprochen. Die Abhandlung schließt mit dem Fermatschen Satz (ohne Beschränkung auf Primzahlen), der Lösung der Kongruenz \(ax \equiv 1\;(\hskip-.7em\mod p)\) für eine in \(a\) nicht aufgehende Primzahl \(p\) und dem Wilsonschen Satz. (III 6.)

Reviewer: Weber, W., Prof. (Berlin)

JFM Section:

Zweiter Halbband. Erster Abschnitt. Geschichte, Philosophie und Pädagogik. 1. Kapitel. Geschichte.