Quelques propriétés des fonctions entières d’ordre infini. Distribution de leurs valeurs. (French) JFM 58.0337.01

Milloux, H.

Annales Ecole norm. (3) 49, 311-350 (1932).

Ein Hauptergebnis der Theorie der cercles de remplissage bei ganzen Funktionen \(f(z)\) von endlicher Ordnung \(\varrho \) kann auf den Fall unendlich hoher Ordnung übertragen werden. Jede solche Funktion besitzt mindestens zwei Folgen solcher Kreise, \(C_n\) und \(C_n'\), die vom Ursprung aus unter Winkeln erscheinen, welche für \(n \to \infty \) nach 0 streben, derart: \(C_n\) und \(C_n'\) gehören einem Kreisring \((r_n, 2r_n)\) an; in ihnen hat \(f(z)\) mindestens \(\varrho _n = r_n^{A_n}\) \(a\)-Stellen für alle \(a\), abgesehen von solchen, deren Kugelbilder zwei kleinen Kreisen vom Radius \(e^{-\varrho _n}\) angehören (einer umgibt den Nordpol); es gilt \(A_n \to \infty \) für \(n \to \infty \).
Und schließlich (das ist hier die Hauptsache): Die Winkelabstände der Mitten von \(C_n\), \(C_n'\) können unter eine gewisse Schranke nicht herabsinken, welche von \(r_n\) abhängt. Verf. beweist dafür: \(\geq 1\): \(\log ^2 T(2r_n,f)\) (und noch etwas mehr), hält aber das naheliegende \[ \pi : \frac {\log T (r_n, f)}{\log r_n} \] für den wahren Wert jener Schranke. In der Tat gibt das bei endlicher Ordnung \(\pi : \varrho \), was für endliches \(\varrho \geq 1\) vom Verf. bewiesen worden ist.
Verf. untersucht bei dieser Gelegenheit mit speziellen Methoden diejenigen ganzen Funktionen unendlicher Ordnung, für welche \[ \overline {\lim } \frac {\log T(r,f)}{r}=p (p) \] eine positive Zahl wird; er vergleicht siene Ergebnisse insbesondere mit bekannten Beispielen Mittag-Lefflers, wie \[ E(z) = \int \frac {e^{e^t}dt}{t-z} \quad \text{und allgemeiner} \quad G(z) = \int \frac {g(t) e^{e^t}}{t-z} dt \] (Interationsweg: Rand eines Halbstreifens der Breite \(2\pi \), in der rechten Halbebene, so daß die Integrale für \(t \to \infty \) konvergieren); \(g(z)\) bezeichnet eine ganze Funktion endlicher Ordnung. Dabei ergibt sich für die etwas schärferen Ergebnisse des Sonderfalls ein befriedigender Anschluß.

Reviewer: Ullrich, E., Prof. (Gießen)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 4. Allgemeine Theorie der Funktionen komplexer Argumente.