Zur Theorie der Singularitäten der Funktionen mehrer komplexen Veränderlichen. Regularitäts- und Konvergenzbereiche. (German) JFM 58.0347.02

Cartan, H.; Thullen, P.

Math. Ann. 106, 617-647 (1932).

Die beiden Verf. setzen hier gemeinensam ihre unhänging voneinabder geführten Untersuchungen über die Regularitätsbereiche und Regularitätshüllen fort. Die Theorie wird dabei einheitlich neu aufgebaut und wesentlich erweitert.
Zunächst werden durch eine “konstruktive” Definition die Bereiche über dem \(R_{2n}\) durch Folgen von Polyzylindern eingeführt und die dazugeörigen Begriffe: im Innern liegen, Teilbereich, Randdistanz, Überlagerungsbereich und der wichtige Begriff der Durchschnitts endlich oder unendlich vieler Bereiche definiert.
Eine Menge \(\mathfrak K\) von Funktionene \(\{ f(z_1, \dots, z_n)\}\), die alle in einem Bereiche \(\mathfrak B\) regulär sind, wird eine “in \(\mathfrak B\) reguläre Klasse” gennant, wenn mit \(f\) auch alle partiellen Ableitungen \(\frac {\partial f}{\partial z_i}\) und alle Funktionen \(\text{const} \cdot f^k\) (\(k\) ganz positiv) zu \(\mathfrak K\) gehören. - Den Mittelpunkt der Untersuchungen bildet dann der folgende Fundamentalsatz:
\(\mathfrak K\) sei eine im Bereiche \(\mathfrak B\) reguläre Klasse. \(\mathfrak {B}_0\) liege ganz im Innern von \(\mathfrak B\). \(M_0\) sei ein Punkt aud \(\mathfrak B\), in dem \(|f(M_0)| \leq \) Maximum von \(|f|\) in \(\mathfrak {B}_0\) ist für alle \(f\) aus \(\mathfrak K\). Dann sind alle \(f\) aus \(\mathfrak K\) noch regulär in einem Polyzynder \(S\) um \(M_0\) mit dem Radius \(r\) (= Minimaldistanz von \(\mathfrak {B}_0\) in bezug auf \(\mathfrak B\)), und außerdem ist für jedes \(\varrho < r\) das Maximum von \(|f|\) in dem Polyzylinder mit dem Radius \(\varrho \) um \(M_0\) nicht größer als das Maximum von \(|f|\) in \(\mathfrak {B}_0^{(\varrho )}\), wo \(\mathfrak {B}_0^{(\varrho )}\) aus \(\mathfrak {B}_0\) durch Hinzunahme aller Punkte aud \(\mathfrak B\) entsteht, die von wenigstens einem Punkt aus \(\mathfrak {B}_0\) einen Abstand kleiner als \(\varrho \) haben. - Dieser Satz führt auf einen wichtigeb Konvexitätsbegriff:
\(\mathfrak B\) heißt \(\mathfrak K\)-konvex in bezug auf die in \(\mathfrak B\) reguläre Klasse \(\mathfrak K\), wen \(\mathfrak B\) Teilbereich des Durchschnitts der Regularitätsbereiche aller Funktionen aud \(\mathfrak K\) ist und es zu kleinem ganz im innern liegenden Bereich \(\mathfrak {B}_0\) einen Punkt \(M_0\) gibt, der die Voraussetzung des Fundamentalsatzes erfüllt, und dessen Randdistanz von \(\mathfrak B\) kliener ist als die Miniladistanz von \(\mathfrak {B}_0\) in bezug auf \(\mathfrak B\).
Es gilt nun: Ein Bereich \(\mathfrak B\) ist dann und nur dann Regularitätsbereich, wenn er \(\mathfrak K\)-konvex ist in bezug auf die Klasse aller in \(\mathfrak B\) regulären Funktion. Weiter ergibt sich, daß der Durchschnitt endlich oder unendlich vieler Regularitätsbereiche selbst ein Regularitätsbereich ist, womit insbesondere bewiesen ist, daß die Regularitätshülle \(\mathfrak H (\mathfrak B)\) eines Bereiches \(\mathfrak B\) (definiert als Durchschnitt der Regularitätsbereiche aller in \(\mathfrak B\) regulären Funktionene) selbst ein Regularitätsbereich ist. - Es werden die bemerkenswertesten Eigenschaften der Regularitätshüllen angegeben.
Für die meromorphen Funktionen und Meromorphiebereiche gelten ganz analoge Überlegungen. Zu beachten ist aber, daß wohl jeder Regularitätsbereich auch ein Meromorphieberech ist, während das Umgekehrte bis heute noch nicht bewiesen ist. - Sodann gelingt es den Verf., das Julia-Problem zu lössen: Der größte Bereich des normalen Verhaltens einer Familie ragulärer Funktionen ist ein Regularitätsbereich oder ein Meromorphiebereich, und zwar tritt der erste Fall immer dann ein, wenn die Familie keine gegen die Konstante \(\infty \) konvergierende Teilfolge enthält.
Ferner werden noch gebracht: Anwendungen auf Kreiskörper und Hartogssche Körper; eine Bemerkung zum Rungeschen Satz für Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen; eine notwendige Bedingung für “echte” Regularitätshüllen und eine Erweiterung der Theorie der \(\mathfrak K\)-konvexen Bereiche durch Eniführung anderer Distanzbegriffe.

Reviewer: Zumbusch, H., Dr. (Berlin)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 4. Allgemeine Theorie der Funktionen komplexer Argumente.

References:

[1]	Vgl. H. Cartan, Sur les domaines d’existence des fonctions de plusieurs variables complexes, Bulletin de la Société mathématique 1931, S. 46-69. · JFM 57.0389.01
[2]	P. Thullen, Zur Theorie der Singularitäten der Funktionen zweier komplexen Veränderlichen. Die Regularitätshüllen, Math. Annalen106 (1932), S. 64-76. Siehe auch · Zbl 0003.26303
[3]	H. Cartan, Les fonctions de deux variables complexes etc., Journ. de Math. (10)9 (1931), S. 1-114, Kap. V. · JFM 57.0387.01
[4]	Diese Bereiche werden in der älteren Literatur meist als ?genaue Existenzbereiche analytischer Funktionen? bezeichnet.
[5]	Die Regularitätshülle einesschlichten Bereiches istnicht notwendig wiederschlicht (siehe III, § 5).
[6]	Vgl. IV, § 2.
[7]	Diese Sprechweise besagt nicht, daß wir wissen, was unter dem ?Rande? eines Bereiches zu verstehen ist.
[8]	Mitf bezeichnen wir kurz die Funktionf(z 1,z 2, ...,z n ) dern komplexen Veränderlichenz 1,z 2, ...z n .
[9]	Vgl., vor allem.
[10]	Hierunter sei der Wert der betreffenden Ableitung im PunkteM 0 verstanden.
[11]	Man beachte, daß wir bisher nur die erste Klasseneigenschaft benutzt haben; es gilt also dieser Teil des Fundamentalsatzes auch für solche Funktionsfamilien, die nur die erste Klasseneigenschaft besitzen.
[12]	Vgl. Definition in III, § 1.
[13]	Man vergleiche Beweis von Folgerung 3 des Fundamentalsatzes.
[14]	Diese Aussage ist schärfer als die von Satz 5.
[15]	Vgl. Beweis von Folgerung 3 des Fundamentalsatzes und von Satz 8.
[16]	Vgl. G. Julia, Sur les familles de fonctions analytiques de plusieurs variables, Acta Math.47 (1926), S. 53-115. · JFM 51.0270.02
[17]	Vgl. die unter, zitierte Arbeit, S. 14-17.
[18]	Hieraus ergibt sich eine Konstruktion der Regularitätschülle eines beschränkten Kreiskörpers (siehe z. B. die unter, zitierte Arbeit, S. 100-101).
[19]	Ein Bereich heißt ein Hartogsscher Körper, wenn er durch sämtliche Transformationen ?’=?,z’=ze i? (? beliebig reell) in sich transformiert wird und (0, 0) als inneren Punkt enthält.
[20]	Vgl. Compt. Rend.192 (1931), S. 1077-1079.
[21]	Daß die Minimaldistanz von B0 in bezug auf Bgrößer r sein kann, läßt sich an einfachen Beispielen nachweisen.
[22]	?’ ist selbst wieder ein sternartiger Kreiskörper.