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Über den Index und den Exponenten von Divisionsalgebren. (German) JFM 59.0156.02

Für eine normale Divisionsalgebra \(\mathfrak {D}\) über einem vollkommenen Grundkörper \(\mathfrak {K}\) existieren zwei charakteristische Zahlen, nämlich der lineare Rang von \(\mathfrak {D}\) über \(\mathfrak {K}\), der stets eine Quadratzahl \(m^2\) ist, wobei \(m\) die Bezeichnung Index von \(\mathfrak {D}\) führt, und der Exponent \(l\) von \(\mathfrak {D}\); dabei bedeutet \(l\) die kleinste positive Zahl, für die das direkte Produkt von \(l\) Faktoren \(\mathfrak {D}\) isomorph zu einer vollständigen Matrixalgebra aus \(\mathfrak {K}\) ist. Zwischen \(l\) und \(m\) bestehen die Beziehungen, daß jeder Primteiler von \(m\) in \(l\) aufgeht, und daß \(l\) Teiler von \(m\) ist. (Vgl. R. Brauer, 1929; F. d. M. \(55_{\text{I}}\), 88; Satz (9) in \(\S 5\), S. 103 der dort besprochenen Arbeit.) Verf. beweist, daß zwischen Index und Exponent keine andern Relationen als die zwei angegebenen bestehen, d. h. daß zu jedem Paar natürlicher Zahlen \(l\) und \(m\), bei dem die zwei notwendigen Bedingungen erfüllt sind, sich über einem geeigneten Grundkörper eine normale Divisionsalgebra mit \(l\) als Exponent und \(m\) als Index bestimmen läßt. Man kann sogar die Divisionsalgebra als eine Dicksonsche Algebra, die heute gewöhnlich zyklische Algebra heißt, wählen.

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