Extensions de théorèmes relatifs aux directions de Borel des fonctions méromorphes. (French) JFM 59.1035.01

Rauch, A.

Journ. de Math. (9) 12, 109-171 (1933).

Die wichtigsten Entwicklungsstufen der sogenannten Juliaschen und Borelschen Richtungen sind kurz folgende:
Julia hat zuerst auf die Tatsache hingewiesen, daß für jede meromorphe Funktion, die einen asymptotischen Wert besitzt, eine Folge von Kreisen \(K_n, |z-a_n|\leqq r_n, \lim a_n =\infty \), existiert, innerhalb derer \(f(z)\) jeden Wert mit höchstens zwei Ausnahmen unendlich oft annimmt. Milloux (1924; F. d. M. 50, 211 (JFM 50.0211.*)-212) stößt beim Studium von meromorphen Funktionen mit einem asymptotischen Wert auf die sogenannten cercles de remplissage, innerhalb derer \(f(z)\) “fast” alle Werte annimmt. Ostrowski (1925; F. d. M. 51, 260 (JFM 51.0260.*)-261) vertieft zugleich mit Milloux den Juliaschen Satz.
Valiron nimmt auf Grund der neueren Ergebnisse von R. Nevanlinna in vielen Abhandlungen die Theorie auf und bringt sie zu einem gewissen Abschluß. Ein definitives Resultat von ihm für meromorphe Funktionen der ordnung \(\varrho \) lautet: Ist \[ \int \limits ^\infty \frac {T(r,f)}{r^{\varrho +1}} dr \] divergent, dann existieren für \(f(z)\) unendlich viele Kreise \(K_n\) mit der Eigenschaft: In jedem \(K_n\) nimmt \(f(z)\) mindestens \(n(K_n)\)-mall alle Werte an, die außerhalb von zwei kreisen liegen, deren Radien, auf der Riemannschen Kugel gemessen, \(\delta (K_n)\) betragen mögen. Ferner: \[ \sum \frac {n(K_n)}{a_n^\varrho } \quad {\text{divergiert}}, \] und \[ \sum \delta (K_n) \quad {\text{konvergiert}}. \] Für \(\varrho >\frac 12\) gibt es mindestens eine Divergenzrichtung von der Ordnung \(\varrho \). Biernacki verschäft den erstgenannten Satz, indem er die cercles de remplissage von \(f(z)-g(z)\), wobei \(g(z)\) von der Ordnung \(\varrho '<\varrho \) ist, studiert, und gewinnt einen dem Valioronschen analogen Satz. Verf. gibt hier verschiedene Verallgemeinerungen der hier besprochenen Sätze. Alle Hilfsmittel und Formeln, die später benutzt werden, werden im ersten Kapitel bewiesen. Das zweite Kapitel beschäftig sich mit der Existenz der cercles de remplissage von Funktionen der Form \(f(z)-g(z)\), wobei \(f(z)\) nicht von unendlicher Ordnung ist und \(f(z)\) “langsamer” als \(f(z)\) wächst.
Unter denselben Voraussetzungen wird der Valironsche Satz auf die Funktionen \(f(z)-g(z)\) ausgedehnt, und aus ihm wird auch der Biernackische Satz erschlossen. Weitere Kapitel beschäftigen sich mit dem Valironschen Satz für \(\varrho >\frac 12\), und ein leztes Kapitel verallgemeinert manche Millouxschen Sätze, die sich auf meromorphe Funktionen mullter und unendlicher Ordnung beziehen. Die Arbeit schließt mit einer ausführlichen Literaturangabe.

Reviewer: Dinghas, A., Dr. (Berlin)

JFM Section:

Zweiter Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 4. Allgemeine Theorie der Funktionen komplexer Argumente.

Citations:

JFM 50.0211.*; JFM 51.0260.*