Zur Theorie der linearen Dimension. (German) JFM 59.1075.01

Banach, S.; Mazur, S.

Studia 4, 100-112 (1933).

Zwei lineare, normierte Räume \(X, Y\) heißen “isomorph”, wenn es eine additive, homöomorphe (kurz: isomorphe) Abbildung von \(X\) auf \(Y\) gibt; sie heißen “äquivalent”, wenn es eine additive, die Norm erhaltende (kurz: äquivalente) Abbildung von \(X\) auf \(Y\) gibt. \(X\) und \(Y\) heißen “von gleicher linearer Dimension”, wenn jeder von ihnen mit einem Teil des anderen isomorph ist. Sind demnach \(X\) und \(Y\) isomorph, so sind sie auch von gleicher linearer Dimension, während die Umkehrung davon nicht allgemein gilt. Die Verf. geben hier - als Hauptresultat der Arbeit - sogar ein Beispiel von zwei separablen Räumen vom Typus \((B)\) (d. h. von zwei separablen, vollständigen, linearen, normierten Räumen), welche von gleicher linearer Dimension sind, ohne isomorph zu sein.
Zu diesem Zweck wird zunächst der Raum \((V)\) der in \({<}0, 1{>}\) definierten Funktionen \(x(t)\) von endlicher Variation untersucht; dieser Raum wird durch \(\| x\| =| x(0)| +V_0^1[x]\) normiert, wobei \(V_0^1[x]\) die Variation von \(x(t)\) in \({<}0, 1{>}\) bedeutet. Er ist vom Typus \((B)\). Nun wird bewiesen: Jede lineare separable Menge im Raume \((V)\) ist mit einer linearen Menge im Raume \((L)\) der integrierbaren Funktionen äquivalent. Daraus folgt unter anderem, daßder Raum \((V)\) schwachvollständig ist, und ferner, daßder zum Raum \((C)\) der stetigen Funktionen konjugierte Raum \((\bar C)\) mit dem Raum \((V)\) äquivalent ist. (Ist \(E\) ein Raum vom Typus \((B)\), so wird als sein konjugierter Raum \(\bar E\) der Raum aller in \(E\) definierten linearen Funktioonale bezeichnet. )
Nun sei \(Y_0\) ein separabler Raum vom Typus \((B)\) derart, daßder zu ihm konjugierte Raum \(\bar Y_0\) nicht schwachvollständig ist; ein solcher Raum ist z. B. der Raum \((l)\) der absolut konvergierten Reihen. Die Verf. zeigen, daßdie Räume \((C)\) und \((C)\times Y_0\) das gewünschte Beispiel liefern, d. h. zwei separable Räume vom Typus \((B)\) von gleicher linearer Dimension, die nicht isomorph sind. Zum Nachweis, daßdiese beiden Räume nicht isomorph sind, wird dabei wesentlich die zuvor bewiesene Schwachvollständigkeit von \((V)\) und \((\bar C)\) benutzt.
An Beispielen wird noch gezeigt, daßzwischen den linearen Dimensionen zweier separabler Räume \(X, Y\) vom Typus \((B)\) und den linearen Dimensionen ihrer konjugierten Räume \(\bar X, \bar Y\) im allgemeinen keine Beziehungen bestehen.
Seien ferner \(X, Y\) lineare, normierte Räume und \(X_0\) eine lineare Teilmenge von \(X\). Ist \(U_0(x)\) eine lineare Abbildung von \(X_0\) auf einen linearen Teil von \(Y\), so heißt jede lineare Abbildung \(U(x)\) von \(X\) auf einen Teil von \(Y\), die für \(x\in X_0\) gleich \(U_0(x)\) ist, eine “lineare Erweiterung” von \(U_0\) auf \(X\). Es wird gezeigt, daßes im allgemeinen und sogar in dem Fall, wo \(X\), \(Y\) separable Räume vom Typus \((B)\) sind, keine lineare Erweiterung von \(U_0\) auf \(X\) gibt.
Schließlich wird noch der interessante Satz bewiesen: Jeder separable, lineare, normierte Raum \(Y\) wie auch sein konjugierter Raum \(\bar Y\) ist ein lineares Bild von \((V)\).
Dazwischen finden sich auch einige Anwendungen auf die Theorie der reellen Funktionen; z. B. der Satz: Ist \(\{ x_n(t)\}\) eine Folge von in \({<}a, b{>}\) erklärten reellen Funktionen und ist \(V_a^b[x_{n_1}+x_{n_2}+\cdots, x_{n_k}]\leqq N\) bei jedem System verschiedener Indices \(n_1, n_2, \cdots, n_k\) mit konstentem \(N\), so ist \(\lim \limits _{n\to \infty }V_a^b[x_n]=0\).
eine vorläufige Mitteilung zi dieser Arbeit erschien in C. R. 196 (1933), 86-88 (F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 408). (IV 3 C. )

Reviewer: Rosenthal, A., Prof. (Heidelberg)

JFM Section:

Zweiter Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 7. Integralgleichungen. Funktionalanalysis.