Über unbedingte Konvergenz in Funktionenräumen. I, II. (German) JFM 59.1076.03

Orlicz, W.

Studia 4, 33-37, 41-47 (1933).

Die Funktionen \(f_{\nu }(x)\) mögen im Intervall \({<}0, 1{>}\) zur Lebesgueschen Klasse \(L^{\alpha }\) gehören. Ist dann die Reihe \(\sum \limits _{\nu =1}^{\infty }f_{\nu }(x)\) in \(L^{\alpha }\) (d. h. in bezug auf die Metrik im Funktionenraume \(L^{\alpha }\)) unbedingt konvergent, so gilt der folgende Satz:
(a) Für \(1\leqq \alpha \leqq 2\) ist die Reihe \[ \sum \limits _{\nu =1}^{\infty }\left ( \int \limits _{0}^{1} | f_{\nu }(x)| ^{\alpha }dx\right ) ^{\tfrac {2}{\alpha }}, \]
(b) für \(\alpha \geqq 2\) die Reihe \[ \sum \limits _{\nu =1}^{\infty }\int \limits _0^1 | f_{\nu }(x)| ^{\alpha }dx \] konvergent.
(c) für \(\alpha \geqq 1\) gilt \[ \int \limits _0^1 \left [ \sum \limits _{\nu =1}^{n}f_{\nu }^2(x)\right ] ^ {\tfrac {\alpha }{2}}dx \leqq K. \] Der Beweis von (c) ist elementar, für (a) werden zwei verschiedene Beweisanordnungen gegeben. Die zweite, die auch (b) liefert, berucht auf den folgenden Ungleichungen:
Sind \(f_1(x)\) und \(f_2(x)\) zwei Funktionen aus \(L^{\alpha }\), so gibt es eine Konstante \(M_{\alpha }\) und ein passendes \(\varepsilon =\pm 1\), so daß\^^M
a) für \(1<\alpha \leqq 2\) \[ \left ( \int \limits _{0}^{1} | f_1(x)+\varepsilon f_2(x)| ^{\alpha }dx\right ) ^ {\tfrac {2}{\alpha }}\geqq \left ( \int | f_1(x)| ^{\alpha }dx\right ) ^{\tfrac {2}{\alpha }}+ M_{\alpha }\left ( \int \limits _0^1| f_2(x)| ^{\alpha }dx\right ) ^ {\tfrac {\alpha }{2}}, \]
b) für \(\alpha \geqq 2\) \[ \int \limits _{0}^{1} | f_1(x)+\varepsilon f_2(x)| ^{\alpha }dx\geqq \int \limits _0^1| f_1(x)| ^{\alpha }dx+ M_{\alpha }\int \limits _0^1| f_2(x)| ^{\alpha }dx \] gilt. Als Anwendungen werden gebracht:
(1) Die linearen Dimensionen der Räume \(L^{\alpha } (\alpha >2)\) und \(L^1\) sind unvergleichbar.
(2) Zwei verschiedene Räume \(L^{\alpha } (\alpha >1)\) sind nie isomorph.

Reviewer: Rogosinski, W., Prof. (Berlin)

JFM Section:

Zweiter Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 7. Integralgleichungen. Funktionalanalysis.