×

Die Abbildungen der Brezelfläche und der Vollbrezel vom Geschlecht 2. (German) JFM 59.1247.01

Verf. wendet die Ergebnisse der vorstehend besprochenen Arbeit an auf die Untersuchung der Abbildungen der geschlossenen orientierbaren Fläche vom Geschlecht 2 und der von ihr berandeten Vollbrezel (vgl. den in vorangehenden Referat genannten Vortrag von Dehn und zwei Arbeiten von Baer, 1928, 1929; F. d. M. 54, 602 (JFM 54.0602.*)-603; \(55_{\text{II}}\), 970). Vorher werden die Grundbegriffe Flächenabbildung, Deformation usw. kombinatorisch formuliert; auch der Satz, daßdie Erzeugung innerer Automorphismen in der Fundamentalgruppe für Deformation charakteristisch ist, wird kombinatorisch bewiesen.
Auf der Fläche \(\mathfrak F_2\) vom Geschlecht 2 mögen die Kurven \(S_i\) und \(U_i\) je ein System von einfach geschlossenen Kurven bilden, das \(\mathfrak F_2\) in zwei dreimal gelochte Kugeln zerlegt; \(S_i\) habe mit \(U_i\) keinen, mit den beiden anderen \(U\) je einen Schnittpunkt. \(L_2\) sei eine Kurve, die \(S_2\) und \(U_2\) je zweimal, und zwar abwechselnd, trifft und \(\mathfrak F_2\) in zwei gelochte Torusflächen zerlegt, von denen die eine \(S_1\) und \(U_3\), die andere \(S_3\) und \(U_1\) enthält. Man denke sich \(\mathfrak F_2\) (als Kugel mit unverknoteten und unverschlungenen Henkeln) so in den euklidischen Raum eingebettet, daß\^^Mdie \(S_i\) im Innern \(\mathfrak V_I\), die \(U_i\) im Äußern \(\mathfrak V_A\) von \(\mathfrak F_2\) beranden und \(L_2\) sowohl in \(\mathfrak V_I\) als auch in \(\mathfrak V_A\) berandet. Verf. stellt, ähnlich wie Baer, die folgenden speziellen Abbildungen von \(\mathfrak F_2\) auf sich auf: Ist \(X\) ein \(S_i\) oder \(U_i\), so bestehe \(\tau _X\) in einer gegenseitigen Verdrehung der beiden Ränder der längs \(X\) aufgeschnittenen Fläche um einen vollen Umlauf um \(X\). \(\omega _2\) bezeichne die Abbildung, die in einem \(L_2\) umschließenden Kreisring die Ränder um einen halben Umlauf gegeneinander verdreht, den \(S_1\), \(U_3\) enthaltenden gelochten Torus unter Festhaltung von \(S_1\), \(U_3\) und \(S_3\), \(U_1\) enthaltenden Torus unter Umkehrung des Umlaufssinns von \(S_3\), \(U_1\) auf sich abbildet. \(\sigma _1\) halte die \(S_i\) fest und versuchte die beiden von den \(S_i\) berandeten dreifach gelochten Kugeln so, daßdie \(U_i\) auf \(U_i^{-1}\) abgebildet werden; \(\sigma _2\) sei die entsprechende Vertauschung der von den \(U_i\) berandeten dreimal gelochte Kugeln; \(\sigma _3\) versuchte die von \(L_2\) berandeten gelochten Torusflächen so, daß\(S_2, U_2\) in \(S_2^{-1}\), \(U_2^{-1}\) übergehen. \(\alpha \) sei diejeinige Abbildung, die jede der dreimal gelochten von den \(S_i\) bzw. \(U_i\) berandeten Kugeln auf sich abbildet, aber (bei passender Orientierung der \(S_i\) und \(U_i\)) \(S_i\) in \(S_{i+1}\), \(U_i\) in \(U_{i+1}(i\mod 3)\) überführt. \(\beta \) bildet \(S_1\) unter Erhaltung, \(U_1\) unter Umkehrung des Umlaufssinns auf sich ab und vertauscht \(S_2\) mit \(S_3\), \(U_3\) mit \(U_2^{-1}\). \(\gamma \) versucht \(S_i\) und \(U_i\) miteinander.
Bekanntlich erzeugen \(\alpha,\beta,\gamma,\sigma _i,\omega _2\), \(\tau _{S_i},\tau _{U_i}\) zusammen die Gruppe \(\mathfrak A\) aller Abbildungstypen von \(\mathfrak F_2\) auf sich (d. h. die Restklassengruppe der Gruppe aller Flächenabbildungen nach der Gruppe der Deformationen). Verf. gelangt zu diesem Satz auf dem Wege über die Bestimmung eines Erzeugendensystems der Untergruppe \(U\) der Abbildungstypen, die jedes \(S_i\) in eine dazu homotope Kurve überführen. (Diese Aufgabe wird für Flächen von Geschlecht \(p\) durchgefüht, wobei statt der \(S_i\) ein System von der Art des im vorangehenden Referat mit \(C_i\) bezeichneten zu nehmen ist.) \(U\) wird erzeugt von den \(\tau _{s_i}\) und gewissen Abbildungen, die das System \(\sum \) der \(S_i\), \(U_i\) auf sich abbilden (daßdie Abbildungen von \(\sum \) auf sich zu den Erzeugenden von \(\mathfrak U\) gehören, ist gewißfalsch - z. B. \(\gamma \) gehört nicht dazu - und wird auch gar nicht bewiesen). Kennt man ein Erzeugendensystem von \(\mathfrak U\), so braucht man zur Bestimmung eines Erzeugendensystems von \(\mathfrak A\) oder einer \(\mathfrak U\) enthaltenden Untergruppe von \(\mathfrak A\) nur noch Abbildungen eines Systems von Bildkurven der \(S_i\) auf die \(S_i\) zu untersuchen, was auf Grund zweier Sätze über die Reduktion von Normalformen einfacher Kurvensysteme bei Anwendung von \(\tau _{U_i}\) bzw. \(\alpha \) und \(\omega _2\) geschieht.
Verf. bestimmt dann noch Erzeugendensysteme für einige Untergruppen von \(\mathfrak A\): Die Gruppen der Abbildungstypen, die das System der beiden Kurven \(S_1\), \(L_2\) oder solche, die das System \(S_1\), \(S_3\) auf ein isotopes abbilden (in eines der beiden Systeme kann man jedes aus zwei nicht isotopen Kurven bestehende einfache System durch Abbildungen aus \(\mathfrak A\) überführen); ferner die im Hinblick auf Heegaard-Diagramme dreidimensionaler Mannigfaltigkeiten wichtigen Gruppen von Abbildungstypen, bei denen die in \(\mathfrak V_I\) zusammenziehbaren Kurven bzw. sowohl die in \(\mathfrak V_I\) als auch die in \(\mathfrak V_A\) zusammenziehbaren Kurven in ebensolche Kurven übergehen.

Citations:

JFM 54.0602.*
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI