Sopra il calcolo differenziale assoluto negli spazi funzionali continui. (Italian) JFM 59.1345.03

Conforto, F.

Annali Pisa (2) 2, 309-324 (1933).

Verf. bringt eine zusammenfassende Darstellung der von ihm selbst (1930; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 645. Ferner: Parallelismo negli spazi funzionali continui, Rendiconti Accad. d. L. Roma (6) 13 (1931), 173-178, 562-568; F. d. M. 57), von A. D. Michal (1928, 1930; F. d. M. 54, 428 (JFM 54.0428.*); \(56_{\text{II}}\), 1192-1193) und G. C. Moisil (1928, 1929; F. d. M. 54, 429 (JFM 54.0429.*); \(55_{\text{II}}\), 1123) erhaltenen Ergebnisse über die Verallgemeinerung der Grundbegriffe des absoluten Differentialkalküls (der Tensoralgebra und -analysis), unter analytischem Gesichtspunkt, und der Geometrie der Riemannschen und affinen Mannigfaltigkeiten, der Begriffe des Parallelismus, der geodätischen Linie und der Krümmung in diesen Räumen, unter geometrischem Gesichtspunkt, auf kontinuierliche Funktionalräume.
Der vom Verf. betrachtete Funktionalraum ist der Raum aller im Intervall \(0\leqq x\leqq 1\) definierten und daselbst stetigen Funktionen \(y^x\) einer reelen Veränderlichen \(x\). Jede Funktion stellt einen Punkt des Raumes dar, und die einzelnen Werte, die sie annimmt, wenn die unabhängige Veränderliche von 0 bis 1 läuft, sind die Koordinaten des Punktes. Die der Geometrie in dem eben genannten Raum zugrunde gelegte Transformationsgruppe der Veränderlichen ist diejenige der Transformationen \[ y^x=y^x[\bar y^t] \tag{1} \] wo \(y^x\) ein beliebiges stetiges und monodromes Funktional von \(\bar y^t\) in \(| \bar y^t-\bar y_{\omega }^t| <M\) ist, das als Funktion in \(\langle 0,1\rangle \) stetig ist und ein Fréchetsches Differential (1914; F. d. M. 45, 550 (JFM 45.0550.*)) \[ \delta y^x=\delta \bar y^x +{}'y_{\alpha }^x[\bar y^t]\delta \bar y^{\alpha } \tag{2} \] besitzt. (Am Ende der Arbeit wird diese Voraussetzung, den neuesten Untersuchungen Michals folgend, erweitert.) In (2) ist das letzte Glied gleich \(\int \limits _0^1{}'y_{\alpha }^x[\bar y^t]\delta y^{\alpha }d\alpha \) (verallgeminerte Summationsvorschrift) und der Kern \({}'y_{\alpha }^x[\bar y^t]\) als in \(\langle 0,1\rangle \) stetige Funktion von \(x\) und als in \(| \bar y^t-\bar y_{\omega }^t| <M\) stetiges Funktional von \(\bar y^t\) angenommen. Seine Fredholmsche Determinante sei ungleich 0. Schließlich wird (1) noch als eindeutig umkehrbar vorausgesetzt. Verf. macht wie Moisil Gebrauch von der sogenannten Diracschen Funkition \(\delta (x,z)\), die in gewisser Weise dieselbe Rolle spielt wie der Einheitsaffinor, dessen Komponenten die Kroneckerschen Symbole \(\delta _s^r\) sind, im gewöhnlichen absoluten Differantialkalkül, und vereinfacht in bemerkenswerter Weise die Entwicklungen, indem er die Ausdrücke \[ \Big ( \frac {\delta y^x}{\delta \bar y^{\alpha }}\Big ) ={}'y_{\alpha }^x [\bar y^t]+\delta (\alpha,x), \qquad \Big ( \frac {\delta \bar y^x}{\delta y^{\alpha }}\Big ) ={}'\bar y_{\alpha }^x [y^t]+\delta (\alpha,x) \] einführt. Dies erlaubt, die Formeln für die Transformation der Fréchetschen Differentiale \(\delta y^x\) so zu schreiben: \[ \delta y^{\xi }=\Big ( \frac {\delta y^{\xi }}{\delta \bar y^{\eta }}\Big ) \delta \bar y^{\eta }. \] Allgemeiner gehen gerade in \(\Big ( \dfrac {\delta y^x}{\delta \bar y^{\alpha }}\Big )\) und \(\Big ( \dfrac {\delta \bar y^x}{\delta y^{\alpha }}\Big )\) in die Formeln der Tensortransformation in der auf den Funktionalraum verallgemeinerten Tensoralgebra ein. Insbesondere sind die Koeffizienten des “\(ds^2\) von zweiter Art” Tensorkomponenten, und dieses \[ ds^2=\{ a_{\xi _1,\xi _2}[y^x]+\delta (\xi _1,\xi _2)\} \delta y^{\xi _1}\delta y^{\xi _2} \] wird einer Metrik im Funktionalraum zugrunde gelegt. Verf. entwickelt die Elemente dieser Metrik und Tensoralgebra für den Funktionalraum in einer der gewöhnlichen ziemlich analogen Form. Darauf geht er zur Tenzoralaysis über, d. h. zum Parallelismus, den er wie Weyl einführt, indem er von dem system \(\varGamma _{\tau \sigma }^h[y^x]\) von Parametern ausgeht (tätsachlich jedoch geht Weyl von geometrischen Betrachtungen aus, die ihn zu jenen Parametern führen) und dann die Invarianz der Vektorlängen bei der Übertgragung ausdrückt. Auf diese Weise wird die Bestimmung der Funktionale \(\varGamma _{\tau \sigma }^{\lambda }\) auf die Lösung einer Fredholmschen Integralgleichung zweiter Art zurückgeführt, so daß\^^Mder Zusammenhang und der Palallelismus - wie in der gewöhnlichen Riemannschen \(V_n\) - durch die Metrik bestimmt sind. Aus den Transformationsformeln der \(\varGamma _{\tau \sigma }^{\lambda }[y^{\alpha }]\) gewinnt man mittels eines Ableitungs- und Eliminationsprozesses, wie für die \(V_n\), den Krümmungstensor. Verf. weist auf dessen geometrische Deutung hin.
Soweit der erste Teil der Arbeit; im zweiten Teil führt Verf. in den Funktionalraum den allgemeinen begriff des affinen Zusammenhangs ein und deutet rasch und ohne nähere Begründung einige darauf bezügliche Ergebnisse an. Er weist dann darauf hin, wie man die gesamte Theorie auf den von Michal in seiner Arbeit vom Jahre 1930 (l. c.) betrachteten Fall ausdehnen kann, für den die Fréchetschen Differentiale von \(y^x[\bar y^{\alpha }]\) im Gegensatz zu (2) durch eine Formel von folgenden Typus ausgedrückt werden: \[ \delta y^x={}_xy^x\delta \bar y^x+{}'y_t^x\delta \bar y^t, \tag{3} \] wobei die Funktionen \({}_xy^x\) und die Fredholmsche Determinante von \({}'y_t^x/{}_xy^x\) als von Null verschieden angenommen werden. Diese Transformation kann man “von dritter Art” nennen, insofern als man bei der Auflösung nach \(\delta \bar y^x\) auf die Lösung einer Integralgleichung dritter Art geführt wird. Dementsprechend ändert sich die Form, die man dem \(ds^2\) geben muß, um eine Metrik festzusetzen (nämlich die vom Verf. “von dritter Art” genannte), und die Darstellung der affinen Zusammenhänge wird im allgemeinen sehr verwickelt. Es ist jedoch anzunehmen, daßauch in diesem Falle ein geeigneter Symbolismus wesentliche Vereinfachungen bringen wird. (IV 7.)

Reviewer: Bortolotti, Enea, Prof. (Florenz)

JFM Section:

Zweiter Halbband. Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 6. Differentialgeometrie. C. Differentialgeometrie in mehrdimensionalen und allgemeinen Räumen.

Citations:

JFM 54.0428.*; JFM 54.0429.*; JFM 45.0550.*