On the measurement of spatial distance in a curved spacetime. (English) JFM 59.1513.01

Ruse, H. S.

Proceedings Royal Soc. Edinburgh 53, 79-88 (1933).

Die Definition räumlicher Distanzen im Riemannschen raumzeitlichen Kontinuum ist bereits mehrfach behandelt worden (vgl. E. T. Whittaker, On the definition of distance in curved space, and the displacement of the spectral lines of distant sources, Proceedings Royal Soc. London (A) 133 (1931), 93-105; H. S. Ruse, On the definition of spatial distance in general relativity, proceedings Royal Soc. Edinburgh 52 (1932), 183-194; W. O. Kermack, W. H. McCrea, E. T. Whittaker, 1933; F. d. M. 57; 58; \(59_{\text{II}}\), 1356). Verf. geht (nach einem Exkurs über den Distanzbegriff in einem Galileischen feld) von folgenden Voraussetzungen aus: (1) Im gekrümmten raumzeitlichen Kontinuum existiert in der Umgebung eines jeden Beobachters ein im höheren Approximationsgrad eenes Gebiet (lokalgalileisches Raumzeitkontinuum); durch eine Transformation der Raumzeitkoordinaten können im allgemeinen stets die ersten Ableitungen des fundamentaltensors örtlich zum Verschwinden gebracht werden; (2) in den lokalgalileischen Kontinuen verwenden die Beobachter strre Maßstäbe zur Vermessung ihrer Koordinatennetze; (3) trifft ein Lichtimpuls von einem objekt \(Q\) in das lokalgalileische Kntinuum eines Beobachters und wird er von diesem im Weltberührungspunkt \(O\) registriert, so ist die räumliche Distanz von \(O\) und \(Q\) durch die Orthogonalprojektion des Weltvektors \(\vec {OQ}\) auf den Tangentenvektor der Weltlinie des Beobachters gegeben.
Zur weiteren Präzision dieser Annahmen verteilt jetzt Verf. auf den Lichtweg \(S\rightarrow O\) eine Folge von Beobachtern \(O_1\), \(O_2\), …, \(O_n\) derart, daß \(S\) im lokalgalileischen Kontinuum von \(O_1\) \(O_1\) in dem von \(O_2\), …, \(O_n\) in dem von \(O\) liegt. jeder dieser Beobachter mißt im Sinne von (3) sein Distanzelement. Die Summe aller Distanelemente ergibt in der Grenze für \(n\rightarrow \infty \) die Definition der räumlichen Distnz \(OS\). Dabei ist noch ein sehr wesentlicher Umstand zu berücksichtigen: Das Distanzelement hängt von der zeitlichen Richtung der Weltlinie seines Beobachters im vierdimensionalen Kontinuum ab, welche längs der geodätischen Nullinie \(OS\) daher notwendig parallel vorauszusetzen sind (im sinne von Levi-Civita), um zu einem eindeutigen resultat zu kommen.
Zur analytischen Durch führung dieser Erörtrungen geht Verf. von den Gleichungen der Nullgeodätischen \(OS\) in Riemann-Veblenschen Normalkoordinaten: \[ y^{\mu } = a^{\mu } \lambda \quad (\mu = 0, 1, 2, 3) \] aus, überträgt den zeitlichen Richtungvektor \(\ast k_{\mu } (z)\) längs \(OS\) nach Levi-Civita: \[ d\ast k_{\mu } (z) = \ast \Gamma ^{\alpha }_{\mu \beta } (z) \ast k_{\alpha } (z) dz_{\beta } \] und erhält als Gesamtdistanz OS: \[ \delta = -\int \limits _0^{\lambda ^^b4} \ast k_{\mu } a^{\mu } d\lambda. \] Eine weitere Berechnung dieses Integrals erweist die Identität der so definierten räumlichen Distanz mit der von Kermack, McCrea und E. T. Wihttaker eingeführten Größe \(\bigtriangleup \). Zum Schluß erfolgt eine Anwendung auf Einsteins zylindrische Weltmetrik.

Reviewer: Pinl, M., Dr. (Prag)

JFM Section:

Zweiter Halbband. Siebenter Asschnitt, Mathematische Physik. Kapitel 2. Relativitätstheorie.