Zur Auflösbarkeit der Gleichung \(x^2 - Dy^2 = -1\). (German) JFM 60.0119.02

Epstein, P.

J. Reine Angew. Math. 171, 243-252 (1934).

Alle \(D\), für die diese Gleichung lösbar ist, erhält man, wie aus der Kettenbruchentwicklung von \(\sqrt {D}\) hervorgeht, aus der Darstellung \[ x^2 + 1 = y^2D = (\alpha \beta + \gamma \delta )^2 + (\alpha \delta - \beta \gamma )^2 = (\alpha ^2 + \gamma ^2)(\beta ^2 + \delta ^2) \] mit \(\alpha \delta - \beta \gamma = \pm 1; \alpha ^2 + \gamma ^2 = y^2\). Die daraus entspringende Zerlegung \(D = \beta ^2 + \delta ^2\) (Hauptzerlegung) ist dabei von der Darstellung (von \(x, y; \alpha, \gamma \)) unabhängig. \(\beta \) und \(\delta \) müssen, soweit ungerade, quadratische Reste von \(D\) sein. Weist daher \(D\) keine solche Zerlegung auf, so ist die gegebene Gleichung sicher unlösbar. Das ist insbesondere für \(D = 2p\) der Fall, wenn \(p = c^2+8d^2\), \(d\) ungerade, darstellbat und Primzahl.

Reviewer: Scholz, A., Dr. (Kiel)

MSC:

11D09

Quadratic and bilinear Diophantine equations

JFM Section:

Erster Halbband. Dritter Abschnitt. Arithmetik und Algebra. Kapitel 6. Elementare Zahlentheorie.