Metrische Kettenbruchprobleme. (German) JFM 60.0948.04

Khintchine, A.

Compositio Math. 1, 361-382 (1934).

Unter der metrischen Theorie der Kettenbrüche versteht Verf. die Gesamtheit der Sätze, welche das Maß von Mengen aller durch eine bestimmte Eigenschaft ihrer regelmäßigen Kettenbruchentwicklung gekennzeichneten Irrationalzahlen abzuschätzen erlauben. Aus diesem Problemkreis werden folgende Sätze bewiesen:
Ist \(E\begin{pmatrix} n_1,\cdots,n_k\\ r_1,\cdots,r_k \end{pmatrix} \) die Menge der zwischen \(0\) und \(1\) gelegen Zahlen \[ \frac {1|}{|a_1} + \frac {1|}{|a_2} + \frac {1|}{|a_3} + \cdots \quad (a_\nu \geq 1 \text{ und ganz}), \] bei denen \[ a_{n_1} = r_1, a_{n_2} = r_2,\cdots,a_{n_k} = r_k \] ist, und bezeichnet \(\mathfrak {M}E\) das Maß der Menge \(E\), so ist \[ \mathfrak {M}E \begin{pmatrix} n_1,\cdots,n_k,n_{k+1}\\ r_1,\cdots,r_k, r_{k+1} \end{pmatrix} < \frac {C}{r_{k+1}^2} \mathfrak {M}E\begin{pmatrix} n_1,\cdots,n_k\\ r_1,\cdots,r_k \end{pmatrix}, \] wo \(C\) eine absolute Konstante. Falls \(n_1 < n_2 < \cdots < n_t < n_{t+1}\) gilt noch die genauere Abschätzung \[ \left |\frac {\mathfrak {M}E\begin{pmatrix} n_1,\cdots,n_t, n_{t+1}\\ r_1,\cdots,r_t, r \end{pmatrix} } {\mathfrak {M}E\begin{pmatrix} n_1,\cdots,n_t\\ r_1,\cdots,r_t \end{pmatrix} } - \frac {\log \left (1 + \frac {1}{r(r + 2)}\right )} {\log 2} \right | < B \exp (- \beta \sqrt {n_{t+1} - n_t}), \] wo auch \(B\) und \(\beta \) (positive) absolute Konstanten sind.
Diese beiden Sätze sind die wichtigsten Hilfsmittel zum Beweis des folgenden Hauptsatzes: Ist \(f(r)\) eine Funktion, die für ein positives \(\delta \) der Bedingung \[ f(r) = O(r^{1-\delta }) \text{ für} \;r \rightarrow \infty \] genügt, so gilt für fast alle Zahlen (d. h. abgesehen von einer Menge vom Maß \(0\) die Formel \[ \lim _{n \rightarrow x} \frac {1}{n} \sum _{k=1}^n f(a_k) = \sum _{r=1}^\infty f(r) \frac {\log \left (1 + \frac {1}{r(r + 2)}\right )}{\log 2}. \] Insbesondere für \(f(r) = \log r\) besagt dieser Satz, daß das geometrische Mittel der Teilnenner \(\root n \of {a_1a_2\cdots a_n}\) für fast alle Zahlen mit wachsendem \(n\) dem Grenzwert \[ \prod _{r=1}^\infty (1 + \frac {1}{r(r+2)})^{\frac {\log r}{\log 2}} = 2,6,\cdots \] zustrebt. Dagegen kann für das arithmetische Mittel nichts aus dem Satz gefolgert werden, weil die Funktion \(f(r) = r\) nicht die Voraussetzung erfüllt. Verf. gewinnt aber für das arithmetische Mittel die etwas andersartige Formel \[ \mathfrak {M}E\left \{|\frac {a_1 + \cdots + a_n}{n} \cdot \frac {\log 2}{\log n} - 1| > \varepsilon \right \} \rightarrow 0 \text{ für} \;n \rightarrow \infty, \] die jedoch keineswegs dahin verschärft werden kann, daß für fast alle Zahlen \[ \lim _{n \rightarrow \infty } \frac {a_1 + \cdots + a_n}{n} \cdot \frac {\log 2}{\log n} = 1 \] ist. Das würde schon mit dem aus Untersuchungen von Borel und F. Bernstein hervorgehenden Resultat in Widerspruch stehen, daß für fast alle Zahlen die Formel gilt: \[ \lim \sup \frac {a_n}{n \log n} = \infty. \]

Reviewer: Perron, O., Prof. (München)

MSC:

11K50

Metric theory of continued fractions

JFM Section:

Zweiter Halbband. Dritter Abschnitt. Arithmetik und Algebra. Kapitel 9. Geometrie der Zahlen. Diophantische Approximationen. Transzendente Zahlen.

Keywords:

metric theory of continued fractions

Citations:

Zbl 0010.34101