Ein mengentheoretischer Satz über die Gleichverteilung modulo Eins. (German) JFM 61.0205.01

Koksma, Jurjen Ferdinand

Compositio math. 2, 250-258 (1935).

Bekanntlich weiß man noch nicht, ob die Zahlen \(e^x\) \((x = 1, 2, \dots)\) gleichverteilt mod 1 sind; Verf. beweist in dieser Richtung folgenden interessanten Satz: Für fast alle \(\theta > 1\) ist \(\theta^x\) gleichverteilt mod 1. Dieser Satz ergibt sich durch Spezialisierung des folgenden allgemeineren Ergebnisses: Seien \(\alpha\) und \(\beta\) zwei reelle, endliche Zahlen mit \(\alpha < \beta\); sei ferner \(f(x, \theta)\) für jede natürliche Zahl \(x\) eine reelle stetige Funktion von \(\theta\) für \(\alpha \leqq \theta \leqq \beta\) und habe \[ \varPhi(x_1, x_2, \theta) = f(x_1, \theta) - f(x_2, \theta) \qquad (\alpha \leqq \theta \leqq \beta) \] für je zwei natürliche Zahlen \(x_1\) und \(x_2\) mit \(x_1 \neq x_2\) eine stetige Ableitung \(\varPhi_\theta^\prime\) nach \(\theta\), die im Intervall \(\alpha \leqq \theta \leqq \beta\) monoton und ungleich Null ist. Wird \[ A_N = \frac{1}{N^2} \sum_{x_1=1}^N \sum_{x_2=1}^{x_1-1} \text{ Max }\left(|\varPhi_\theta^\prime(x_1, x_2, \alpha)|^{-1}, \;|\varPhi_\theta^\prime(x_1, x_2, \beta)|^{-1}\right) \] für ganzes \(N \geqq 2\) gesetzt, so gebe es eine monoton wachsende Folge natürlicher Zahlen \(N_1, N_2, \dots\) mit \[ \lim_{\nu\to \infty} \frac{N_{\nu+1}}{N_\nu} \to 1, \] für die die Reihe \(\sum\limits_{\nu=1}^\infty A_{N_\nu}\) konvergiert. Dann ist für fast alle \(\theta\) aus \(\alpha \leqq \theta\leqq \beta\) die Zahlfolge \[ f(x, \theta) \qquad (x =1, 2, 3, \dots) \] gleichverteilt mod 1.

Reviewer: Mahler, K., Dr. (Krefeld)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 2. Theorie der unendlichen Zahlenfolgen.