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Über die analytische Darstellung der automorphen Funktionen bei hyperelliptischen Riemannschen Flächen. (German) JFM 61.0367.02

Die Resultate der Acta-Arbeit sind vom Verf. außer in dem an erster Stelle genannten Vortrag im wesentlichen schon früher (C. R. 197 (1933), 730-732; JFM 59.0391.*) mitgeteilt worden. Hier handelt es sich nun um eine ausführliche Darstellung.
An dem Beispiel der hyperelliptischen Riemannschen Fläche vom Geschlecht Zwei \[ y^2=(x-e_1)(x-e_2)\ldots(x_6-e_6) \tag{1} \] wird gezeigt, wie sich die ursprünglich an Fuchsschen Gruppen vom Geschlecht Null, deren Fundamentalbereich lauter verschwindende Winkel besitzt, durchgeführte Methode des Verf. zur direkten Darstellung automorpher Funktionen durch bedingt konvergente Reihen und Produkte (Über die analytische Darstellung der automorphen Funktionen durch bedingt konvergente Reihen und Produkte; Acta math. 59 (1932), 329-372; F. d. M. 58) auf Gruppen höheren Geschlechts übertragen läßt.
\(z (x)\) sei die Hauptuniformisierende der Riemannschen Fläche (1) und \(u\) ein mittelst vier von den sechs Punkten \(e_{\nu}\) gebildetes elliptisches Integral erster Gattung, das, weil auf (1) unverzweigt, eine eindeutige Funktion von \(z\) ist. Die zu der polymorphen Funktion \(z (x)\) gehörige Fuchssche Gruppe vom Geschlecht Null sei \(\varGamma_x\). Diejenigen Substitutionen von \(\varGamma_x\), welche \(u\) ungeändert lassen, bilden einen Normalteiler \(\varGamma_u\) von \(\varGamma_x\). \(\varGamma_u\) ist eine Fuchsoide Gruppe vom Geschlecht Null, und \(u (z)\) ist eine zugehörige Hauptfunktion. \(\varGamma_u\) kann nun als Grenzgebilde einer unendlichen Folge Fuchsscher Gruppen vom Geschlecht Null gewonnen werden, welche noch auf gewissen Teilen des Hauptkreises diskontinuierlich sind, und deren Hauptfunktionen daher durch absolut konvergente Reihen und Produkte der Form \[ \sum \dfrac{A_{\nu}}{z-a_{\nu}} \quad \text{ bzw. } \quad \prod \dfrac{z-b_{\nu}}{z-a_{\nu}} \] dargestellt werden können. Indem man auch in diesen Darstellungen den Grenzübergang vollzieht, erhält man für die Hauptfunktionen von \(\varGamma_u\) Ausdrücke ähnlicher Form, welche aber nur bedingt konvergieren, z. B. \[ \dfrac{u'(a)}{u(z)-u(a)}=\sum_{\varGamma_u}\left(\dfrac{1}{S(z)-a}-\dfrac{1}{S(\infty)-a}\right). \tag{2} \] Durch Integration hinsichtlich \(a\) und Übergang zur Exponentialfunktion ergeben sich hieraus für die Hauptfunktionen von \(\varGamma_u\) auch Produktdarstellungen \[ \dfrac{u(z)-u(a)}{u(z)-u(b)} : \dfrac{u(z_0)-u(a)}{u(z_0)-u(b)}= \prod_{\varGamma_u} \dfrac{S(z)-a}{S(z)-b} : \dfrac{S(z_0)-a}{S(z_0)-b}. \tag{3} \] Da die Umkehrfunktion \(x= x (u)\) doppeltperiodisch ist, lassen sich die automorphen Funktionen von \(\varGamma_x\) aus den doppeltperiodischen Funktionen von \(u\) und der fuchsoiden Funktion \(u (z)\) zusammensetzen.
Diejenigen Substitutionen von \(\varGamma_x\), welche auch \(y\) ungeändert lassen, bilden einen Normalteiler \(\varGamma_{xy}\) vom Index Zwei. Zur Darstellung der automorphen Funktionen der zu (1) gehörigen Gruppe \(\varGamma_{xy}\) muß noch ein zweites elliptisches Integral erster Gattung \(v(z)\) von der Art herangezogen werden, daß in beiden Integralen zusammen alle sechs Verzeigungspunkte vertreten sind. Jede automorphe Funktion von \(\varGamma_{xy}\) läßt sich dann als eindeutige Funktion von \(u (z)\) und \(v (z)\) darstellen. Indem man \(x (u)\) in bekannter Weise durch die elliptische Thetafunktion \(H (u)\) ausdrückt, erhält man für jede automorphe Funktion von \(\varGamma_{xy}\) eine Darstellung als Quotient zweier für \(|z| < 1\) regulärer Funktionen, welche aus den Thetafunktionen sowie aus \(u (z)\) und \(v (z)\) zusammengesetzt sind und für jede Substitution \(S\) aus \(\varGamma_{xy}\) einer Gleichung der Form \[ f\left(S(z)\right) = e^{^{\alpha}S^{u(z)+\beta}S}\cdot f(z) \tag{4} \] genügen. Diese Funktionen können als Verallgemeinerung der elliptischen Thetafunktionen angesehen werden und sind von den Poincaréschen Thetafunktionen wesentlich verschieden. Verf. zeigt außerdem, daß diese neuen Thetafunktionen sich durch Gleichungen der Form \[ f\left(S(z)\right)=e^{g_S(z)} \cdot f(z) \tag{5} \] unter sehr allgemeinen Voraussetzungen hinsichtlich der Funktionen \(g_S (z)\) charakterisieren lassen. Sie können als Analogon der elliptischen Funktionen dritter Art angesehen werden.
Mit Hilfe der Darstellung der Funktion \(\mathfrak p (u)\) durch \(\zeta(u)\) gelingt es ferner, Produktdarstellungen für \(x (z)\) und \(y (z)\) anzugeben, welche Nullpunkte und Pole sowie die formale Invarianz gegenüber den Substitutionen der Gruppe in Evidenz setzen. Man erhält so folgende Ausdrücke: \[ \begin{aligned} &\dfrac{x(z)-z(a)}{x(z)-x(b)} : \dfrac{x(z_0)-x(a)}{x(z_0)-x(b)}=\prod_{\varGamma_x} \left[\dfrac{S(z)-a}{S(z)-b} : \dfrac{S(z_0)-a}{S(z_0)-b}\right], \tag{6}\\ & y(z)=\prod_{\varGamma_x}\dfrac{S^{(k)}(z)-a_k}{S^{(k)}(z)-b_k} \cdot e^{A_S^{(k)}u(z)+B_S^{(k)}v(z)+C_S^{(k)}} \tag{7} \end{aligned} \] durch welche in einfacher Weise die Uniformisierung der Gleichung (1) geleistet wird. Bemerkenswert ist, daß bei den automorphen Funktionen von \(\varGamma_x\) die Reihenfolge der Glieder der bedingt konvergenten Ausdrücke von der darzustellenden Funktion unabhängig ist.
Durch Anwendung der Cauchyschen Integralformel auf eine Folge geschlossener, gegen den Hauptkreis konvergierender Kurven \(L_n\), von denen jede die vorhergehende umschließt, und für welche \[ \lim_{n\to\infty} \int\limits_{L_n} \left|\dfrac{dz}{u(z)}\right|=0 \tag{8} \] ist, findet Verf. außerdem eine ähnlich der Mittag-Lefflerschen Partialbruchreihe gebaute Reihendarstellung für die automorphen Funktionen von \(\varGamma_{xy}\), sowie explizite Ausdrücke für die Integrale der Riemannschen Fläche (1).
Alle diese Ergebnisse lassen sich unmittelbar auf hyperelliptische Flächen höheren Geschlechts übertragen. Verf. deutet zum Schluß noch an, wie seine Methoden auf beliebige algebraische Flächen vom Geschlecht \(p\) angewendet werden können. (IV 6 C.)

Citations:

JFM 59.0391.*
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References:

[1] P. J. Myrberg:Über die analytische Darstellung der automorphen Funktionen durch bedingt konvergente Reihen und Produkte (Acta mathematica, Bd. 59 (1932). · Zbl 0005.29606
[2] Eine vorläufige Mitteilung der Resultate der vorliegenden Arbeit findet man in unserer Note:Sur une représentation nouvelle des fonctions automorphes (Comptes rendus des séances de l’Académie des Sciences, Paris, t. 197 (1933)).
[3] Der Punktu=o fällt in Fig. 6 mit dem Mittelpunkt der unteren Seite von I zusammen.
[4] d. h. im hyperbolschen Sinne gemessene Länge.
[5] Auch diese Linie ist n. e. konvex, aber nicht in dem in N:o 4 definierten Sinne, indem sie innerhalb des durch die oberste Seite definierten Orthogonalkreises vonH liegt.
[6] Wir haben hier und im folgenden die Indizes {\(\epsilon\)}, {\(\mu\)}, {\(\nu\)} aus den Zügen, welche zum Polygonnetz von {\(\Gamma\)}n, m gehörfge mod.m reduzierte Züge sind, der Kürze halber fortgelassen.
[7] Man kann durch eine erlaubte Abänderung vonB x stets erreichen, dassa im Innern vonB x liegen wird.
[8] Wegen eines Versehens fehlt das konstante Gliedg n ( a) in der Formel (12), S. 366 und den daraus abgeleiteten Formeln in unserer S. 196 zitierten Arbeit1, was doch auf die Schlussformel (22) keinen Einfluss hat.
[9] Für {\(\omega\)}=o ist der Exponentialfaktor=1 zu setzen.
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