On finite-dimensional vector spaces. (Über endlich-dimensionale Vektorräume.) (German) JFM 61.1216.01

Markoff, A. A. jun.

Ann. of Math. (2) 36, 464-506 (1935).

Verf. betrachtet im Kleinen bikompakte, zusammenhängende, kommutative Gruppen \(G\) und beweist den sogenannten Plättungssatz: \(G\) besitzt eine bikompakte Faktorgruppe, deren Normalteiler eine endlichdimensionale Vektorgruppe ist. Dieser Satz ist für im Kleinen kompakte \(G\) aus der Arbeit von L. Pontrjagin [Ann. Math. (2) 35, 361–388 (1934; JFM 60.0362.02)] bekannt und zwar sogar in der schärferen Form einer direkten Zerlegung von \(G\) in eine kompakte und eine endlichdimensionale Vektorgruppe; E. R. van Kampen [Ann. Math. (2) 36, 448–463 (1935; JFM 61.0472.05)] hat diesen Satz allgemein für im Kleinen bikompakte \(G\) bewiesen. Verf. ist jedoch unabhängig von L. Pontrjagin und genießt sogar durch seine Note [C. R. Acad. Sci., Paris 197, 610–612 (1933; JFM 59.0144.02)], in der die wesentlichen Schritte getan wurden, für seinen Satz die Priorität.
Sein Beweis ist vom Pontrjaginschen verschieden. – Er beruht auf dem bereits bei der zitierten Note besprochenen Beherrschungssatz: Die Menge \(A\) heißt durch die Menge \(B\) beherrscht, wenn eine bikompakte Menge \(F\) mit \(A \subset B + F\) existiert (die Addition ist gruppentheoretisch zu verstehen). \(G\) wird dann durch eine Gruppe von endlich vielen Erzeugenden \(a_1, \dots, a_n\) beherrscht. Zum Plättungssatz führt dann folgende Überlegung: Jedes \(y \in G\) gestattet eine Beziehung \[ y \in \sum_1^n h_j a_j + F \] mit geeigneten ganzzahligen \(h_j = H_j(y)\) die für jedes \(y\) in bestimmter Weise eindeutig festgesetzt seien. Man hat dann für jedes ganze \(i\) \[ iy \in H_j(i y) a_j + [a_1, \dots, a_{j-1}, a_{j+1}, \dots, a_n] + F \] (wo die eckige Klammer die von den in ihr stehenden Elementen erzeugte Gruppe darstellt). Nun zeigt sich, daß die \[ \frac{H_j (iy)}{i} \] für \(i \to \infty\) konvergieren. Die Limites bestimmen eine Abbildung von \(G\) auf eine Vektorgruppe, die gesuchte Plättung.
Aus dem Plättungssatz ergibt sich eine Charakterisierung der Vektorengruppen unter den Gruppen \(G\), die sich im wesentlichen auch bereits bei Pontrjagin findet.

Reviewer: Freudenthal, H., Dr. (Amsterdam)

MSC:

57Sxx	Topological transformation groups
22C05	Compact groups

JFM Section:

Zweiter Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 8. Kontinuierliche Gruppen. Differentialinvarianten. Integralinvarianten.

Citations:

Zbl 0009.15601; JFM 60.0362.02; JFM 61.0472.05; Zbl 0007.36005; Zbl 0011.39401; JFM 59.0144.02