Sulle equazioni di Eulero nel calcolo delle variazioni. (Italian) JFM 61.1284.04

Tonelli, L.

Ann. Pisa (2) 4, 191-216 (1935).

Es handelt sich um die Frage, was für Ableitungen der Integrand \(f(x, y, y')\) eines Variationsproblems besitzen muß, damit diejenigen Sätze über seine Extremalen Gültigkeit besitzen, die sich auf das Extremum “im Kleinen” beziehen: Existenz und Eindeutigkeit der Extremale, die zwei benachbarte Punkte verbindet oder die von einem Punkt in einer gegebenen Richtung ausgeht, und ihre stetige Abhängigkeit von und Differenzierbarkeit nach den Anfangswerten. Um die Existenzsätze über die Lösungen von Differentialgleichungen anwenden zu können, muß man bekanntlich die Stetigkeit der Ableitungen bis zur dritten Ordnung oder wenigstens der zweiten Ableitungen von \(f\) und von \(f_{y'}\), voraussetzen. Transformiert man die Eulersche Gleichung in ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung (Carathéodory, Bliss), so kommt man mit den zweiten Ableitungen aus. In dieser Arbeit, die gewissermaßen eine Neufassung der Abschnitte 106-115 des zweiten Bandes seiner Fondamenti di calcolo delle variazioni (1923; F. d. M. 49, 348 (JFM 49.0348.*)) darstellt, gelangt Verf. durch einige Modifikationen seiner Methode zu den folgenden weitergehenden Resultaten (wir geben nur den wesentlichen Inhalt, nicht die genaue Formulierung der Sätze):
Es wird vorausgesetzt, daß die Ableitungen \(f_y\) und \(f_{y'}\), vorhanden und stetig sind. Das Problem heißt (positiv) regulär, wenn der Differenzenquotient von \(f_{y'}\), bezüglich \(y'\) eine positive Schranke nicht unterschreitet.
Für die Existenz einer Extremale, die zwei benachbarte Punkte verbindet, muß verlangt werden, daß \(f_{y'}\), für ein \(y'\)-Intervall, dem die Steigung der Verbindungslinie der beiden Punkte angehört, eine monoton wachsende Funktion von \(y'\) ist und daß die Ableitung \(f_{y'y}\), vorhanden und stetig ist. Für die Eindeutigkeit wird die Regularität, eventuell nur für ein geeignetes \(y'\)-Intervall, und zu diesem Intervall die Existenz einer unteren Schranke des Differenzenquotienten von \(f_y\) bezüglich \(y\) und einer oberen Schranke für den Betrag des Differenzenquotienten von \(f_{y'}\), bezüglich \(y\) vorausgesetzt.
Für die Existenz einer Extremale mit gegebenem Anfangspunkt und -richtung braucht man bloß, daß \(f_{y'}\), in einem die Anfangsrichtung enthaltenden Intervall in \(y'\) monoton wächst; für die Eindeutigkeit wieder die Regularität und eine Lipschitz-Bedingung für \(f_y\) bezüglich \(y\) und \(y'\). Unter dieser selben Voraussetzung wird die stetige Abhängigkeit der Extremale von Anfangspunkt und -richtung bewiesen, und daraus folgt weiter, daß auch unter dieser Voraussetzung die Existenz einer zwei benachbarte Punkte verbindenden Extremale gewährleistet ist.
Für die Differenzierbarkeit schließlich nach den Anfangswerten – und nur hierfür – braucht man die Existenz und Stetigkeit der zweiten Ableitungen \(f_{yy}\), \(f_{yy'}\), \(f_{y'y'}\), falls es sich nur um die Abhängigkeit von der Anfangsordinate und -richtung handelt, dazu noch \(f_{y'x}\), wenn man auch nach der Anfangsabszisse dinerenzieren will.

Reviewer: Boerner, H., Dr. (München)

JFM Section:

Zweiter Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 15. Variationsrechnung.

Citations:

JFM 49.0348.*