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On non-harmonic Fourier series. (English) JFM 62.0279.01

Paley und Wiener (Fourier transforms in the complex domain (1934; F. d. M. \(60_{\text{I}}\), 345), Satz XXXVIII) haben gezeigt, daß eine Reihe von Eigenschaften der Folge \(\{e^{inx}\}\) allgemeiner für Folgen \(\{e^{i\lambda _n x}\}\) mit \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(1)} \hfill |\,\lambda _n-n\,| \leqq D<\frac{1}{\pi ^2}\qquad(n=0,\pm1,\pm2,\dots )\hfill} \] (\(D\) fest) gelten. Sie haben insbesondere bewiesen:
Genügt die Folge \(\{e^{i\lambda _n x}\}\) der Beziehung (1), so ist sie in \((-\pi, +\pi )\) bezüglich der Funktionsklasse \(L^2\) abgeschlossen. Es gibt genau eine in \((-\pi, +\pi )\) zu ihr biorthogonale Folge \(\{h_n(x)\,\}\). Für jede in \((-\pi, +\pi )\) zur Klasse \(L^2\) gehörige Funktion \(f(x)\) konvergiert die Reihe \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(2)} \hfill \sum\limits_{-\infty }^{+\infty } \biggl\{\frac{e^{inx}}{2\pi }\int\limits_{-\pi }^{+\pi }f(\xi )e^{-in\xi }\,d\xi -e^{i\lambda _n x}\int\limits_{-\pi }^{+\pi }f(\xi )\,h_n(\xi )\,d\xi \biggr\}\hfill} \] in jedem Intervall \((-\pi + \delta, \pi - \delta )\) mit \(\delta >0\) gleichmäßig gegen 0, und in jedem solchen Intervall sind auch die Summabilitätseigenschaften von \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(3)} \hfill \sum\limits_{-\infty }^{+\infty }e^{i\lambda _n x}\textstyle\int\limits_{-\pi }^{+\pi }f(\xi )\,h_n(\xi )\,d\xi \hfill} \] gleichmäßig dieselben wie die der gewöhnlichen Fourierreihe von \(f(x)\).
Paley und Wiener haben die Frage offen gelassen, ob die Konstante \(\dfrac{1}{\pi ^2}\) in (1) die bestmögliche ist, ebenso die Frage, ob der vorstehende Satz auf die Funktionen der Klasse \(L\) erweitert werden kann. Verf. gibt nun in der vorliegenden Note die Antwort auf diese Fragen. Er zeigt:
(I) Genügt die Folge \(\{\lambda _n\}\) einer Ungleichung \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(4)} \hfill |\,\lambda _n-n\,| \leqq D<\frac{p-1}{2p}\qquad(n=0, \pm1, \pm2,\dots )\hfill} \] (\(D\), \(p\) iest, \(1<p\leqq 2\)), so ist die Folge \(\{e^{i\lambda _n x}\}\) in \((-\pi, +\pi )\) bzgl. der Funktionsklasse \(L^p\) abgeschlossen. Es gibt genau eine in \((-\pi, +\pi )\) zu ihr biorthogonale Folge \(\{h_n(x)\}\). Für jede in \((-\pi, +\pi )\) zur Klasse \(L^p\) gehörige Funktion \(f(x)\) konvergiert die Reihe (2) in jedem Intervall \((-\pi +\delta, +\pi-\delta )\) mit \(\delta > 0\) gleichmäßig gegen 0, und in jedem solchen Intervall sind auch die Summabilitätseigenschaften von (3) gleichmäßig dieselben wie die der gewöhnlichen Fourierreihe von \(f(x)\). – Für die Funktionsklasse \(L^2\) folgt daraus speziell, daß im Paley-Wienerschen Satz die Konstante \(\dfrac{1}{\pi ^2}\) in (1) durch \(\dfrac{1}{4}\) ersetzt werden kann.
(II) Wird (4) ersetzt durch \[ |\,\lambda _n-n\,|\leqq \frac{p-1}{2p}, \] so gelten die Behauptungen in (I) nicht mehr, die Konstante \(\dfrac{p-1}{2p}\) in (4) ist also die bestmögliche. – Daraus folgt, daß in (4) \(D\to 0\) gehen muß, wenn \(p\to 1\) strebt, und daß daher für die Funktionen der Klasse \(L\) kein Satz der Form (I) mehr gilt.
Für den Beweis von (I) ist die folgende Tatsache von grundlegender Bedeutung: Genügt die Folge \(\{\lambda _n\}\) einer Ungleichung (4) und ist \[ F(x)=\textstyle\prod\limits_{1}^{\infty }\biggl(1-\frac{x}{\lambda _n}\biggr)\,\biggl(1-\frac{x}{\lambda _{-n}}\biggr), \] so gibt es eine absolute Konstante \(A\), mit der \[ \int\limits_{-\infty }^{+\infty }|\,F(x)\,|^p\,dx<\frac{A}{(p-1-2pD)^2}\;\;\text{und}\;\;\int\limits_{c}^{+\infty }|\,F(x)\,|^p\,dx<\frac{Ac^{-(p-1-2pD)}}{(p-1-2pD)^2}\;\text{für}\;c>1 \] gilt.

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