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Sur les lois stables. (French) JFM 62.0596.01

P. Lévy führte den Begriff des stabilen Wahrscheinlichkeitsgesetzes (loi stable) ein und zeigte, daß für ein solches die charakteristische Funktion \(\varphi(t)\) folgendes Aussehen haben muß: \[ \log \varphi(t) = -c\left (1-i\beta \frac t{|t|} \operatorname{tg} \frac{\pi}2 \alpha\right)|t|^\alpha \quad (c>0, \;0 < \alpha \leqq 2, \;|\beta| \leqq 1). \] (P. Lévy, Calcul des probabilités (1925; F. d. M. 51, 380 (JFM 51.0380.*)), p. 252-263). Allerdings wurde dort die Unmöglichkeit von \(|\beta| > 1\) nicht streng bewiesen. Dieser Beweis wird in vorliegender Note nachgetragen, und zwar im Falle \(0 < \alpha < 1\) von P. Lévy, im Falle \(1 < \alpha < 2\) von A. Khintchine. Die Fälle \(\alpha = 1\) und \(\alpha = 2\) sind trivial.

Citations:

JFM 51.0380.*
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