Zyklische Körper und Algebren der Charakteristik \(p\) vom Grad \(p^n\). Struktur diskret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik \(p\). (German) JFM 62.1112.03

Witt, E.

J. reine angew. Math. 176, 126-140 (1936).

Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt in der Einführung einer neuen Methodik für die Behandlung der in der Überschrift genannten Gegenstände, nämlich einer Vektorrechnung, die auf das Additions- und Multiplikationsschema der allgemeinen \(p\)-adischen Körper hinausläuft.
Sei \(p\) eine feste Primzahl. Es werden zunächst Vektoren \(x = (x_0, x_1, x_2, \dots)\) betrachtet, deren Komponenten \(x_n\) Unbestimmte bei Charakteristik 0 sind. Unter den Nebenkomponenten von \(x\) werden die Polynome \[ x^{(n)} = x_0^{p^n} + px_1^{p^{n-1}} + \cdots + p^n x_n \] verstanden. Summe und Produkt zweier solcher Vektoren werden nebenkomponentenweise erklärt. Es stellt sich heraus, daß die Komponenten von Summe und Produkt ganzzahlige Polynome in den Komponenten der Summanden bzw. Faktoren sind. Daher kann man in dieser Vektorrechnung zu Kongruenzen mod \(p\) übergehen und für die Komponenten die Elemente eines gegebenen Körpers \(\mathfrak k\) der Charakteristik \(p\) einsetzen. Ist \(\mathfrak k\) vollkommen, so erweist sich der so entstehende Vektorbereich – nach Hinzunahme der Quotienten mit Potenzen von \(p = p \cdot 1 = p \cdot (1, 0, 0, \dots) = (0, 1, 0, \dots)\) – als diskret bewerteter perfekter Körper der Charakteristik 0 mit Primelement \(p\) (\(p\)-adischer Körper) und Restklassenkörper \(\mathfrak k\). Ist umgekehrt \(k\) irgendein \(p\)-adischer Körper mit vollkommenem Restklassenkörper \(\mathfrak k\), so gibt es in \(k\) genau ein multiplikationstreues Vertretersystem \(R\) für \(\mathfrak k\). Ordnet man dann den ganzen Elementen \[ a = a_0 + a_1p + a_2p^2 + \cdots, \qquad a_i \;\text{ in } \;R, \] aus \(k\) die Vektoren \[ \mathfrak a = (\mathfrak a_0, \mathfrak a_1^p, \mathfrak a_2^{p^2}, \dots), \quad \mathfrak a_i = \text{ Restklasse mod } \;p \;\text{ von } \;a_i \] über \(\mathfrak k\) zu, so erhält man einen Wertisomorphismus zwischen \(k\) und dem vorher konstruierten \(p\)-adischen Körpertypus. Dies ist also der einzige \(p\)-adische Körpertypus mit dem vorgegebenen vollkommenen Restklassenkörper \(\mathfrak k\). Geht man von einem diskret bewerteten perfekten Körper \(k\) der Charakteristik \(p\) mit vollkommenem Restklassenkörper \(\mathfrak k\) aus, so existiert \(R\) wie vorher und ist auch additionstreu, also ein zu \(\mathfrak k\) isomorpher Körper, und daraus folgt, daß \(k\) vom Typus des Potenzreihenkörpers über \(\mathfrak k\) ist. Hiermit ist der wesentliche Teil der von F. K. Schmidt und Ref. früher bewiesenen Struktursätze über diskret bewertete perfekte Körper (J. reine angew. Math. 170 (1933), 4-63; F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 154-155) für den Fall eines vollkommenen Restklassenkörpers auf neue erheblich vereinfachte Art bewiesen.
Als Verallgemeinerung der Artin-Schreierschen Normalerzeugung der zyklischen Erweiterungskörper \(K\) vom Grade \(p\) über einem Körper \(k\) der Charakteristik \(p\) findet Verf. für den Grad \(p^n\) die Erzeugung \[ K = k(\theta) \left[= k\left(\frac{1}{\wp}\,\omega\right)\right] \;\text{ mit } \;\wp \theta = \theta^p - \theta = \omega \left[ \theta = \frac{1}{\wp}\,\omega\right], \] wo \(\omega\), \(\theta\) \(n\)-gliedrige Vektoren über \(k\), \(K\) sind, mit denen nach dem vorher erklärten Schema unter Abbrechen bei der \(n\)-ten Komponente zu rechnen ist; \(\theta^p\) ist komponentenweise zu verstehen. Es wird in einfachster Weise, ganz analog zum Fall des Grades \(p\), bewiesen: Die abelschen Erweiterungskörper \(K/k\) vom Exponenten \(p^n\) entsprechen in der Form \(K = k\left(\dfrac{1}{\wp}\,\omega\right)\) umkehrbar eindeutig den additiven Gruppen von \(n\)-gliedrigen Vektoren \(\omega\) über \(k\), die die Gruppe der \(\wp \alpha\) (\(\alpha\) \(n\)-gliedriger Vektor über \(k\)) enthalten, und dabei ist \(\omega/\wp \alpha\) zur Galoisgruppe von \(K/k\) isomorph. Für zyklisches \(K/k\) liefert \(\delta \theta = \theta + 1\) einen erzeugenden Automorphismus. Durch diesen Satz, der ganz analog zum Hauptsatz über Kummersche Körper ist, wird die früher von A. A. Albert gefundene Theorie der zyklischen Körper vom Grade \(p^n\) bei Charakteristik \(p\) (Bull. Amer. math. Soc. 40 (1934), 625-631; F. d. M. \(60_{\text{I}}\), 110) erheblich vereinfacht.
Auch die H. L. Schmidtsche Theorie der zyklischen Algebren vom Grade \(p^n\) bei Charakteristik \(p\) (J. reine angew. Math. 175 (1936), 108-123; F. d. M. \(62_{\text{I}}\), 111), in der sich die Ansätze zu der vom Verf. entwickelten Vektorrechnung bereits vorfinden, läßt sich jetzt vereinfacht darstellen und ausbauen. Bezeichne \((\alpha, \beta \, |\) die durch \[ u^{p^n} = \alpha \, (\text{Zahl }\neq 0 \;\text{ in } \;k), \quad \wp \theta = \beta \quad (n\text{-gliedriger Vektor über } k), \quad u\theta u^{-1} = \theta + 1 \] definierte zyklische Algebra vom Grade \(p^n\) über \(k\). Sie ist einfach und normal, ferner im Sinne der Ähnlichkeit multiplikativ in \(\alpha\) und additiv in \(\beta\). Für den Fall, daß \(k\) der Potenzreihenkörper in einer Unbestimmten \(t\) über einem vollkommenem Körper \(\mathfrak k\) der Charakteristik \(p\) ist, findet Verf. als wesentlich neues Ergebnis die Residuenformel \[ (\alpha, \beta\,|\,\sim \left(t, \text{ Res }\frac{d\alpha}{\alpha}\,\beta\right|, \] die für die Algebrenklasse von \((\alpha, \beta|\) eine invariante Normalform liefert. Dabei ist der Residuenvektor Res \(\dfrac{d\alpha}{\alpha}\,\beta\) folgendermaßen erklärt: Für Potenzreihen in \(t\) mit unbestimmten Koeffizienten bei Charakteristik 0 soll Res \(\dfrac{dx}{x}\, y\) die Nebenkomponenten Res \(\dfrac{dx}{x}\, y^{(n)}\) haben, wo \(y^{(n)}\) die Nebenkomponenten von \(y\) sind. Die Komponenten von Res \(\dfrac{dx}{x}\, y\) erweisen sich dann als ganzzahlige Polynome in den Koeffizienten von \(x\) (einschließlich des Reziproken zum Anfangskoeffizienten) und den Koeffizienten der Komponenten von \(y\). Daher kann man wieder zu Kongruenzen mod \(p\) übergehen und für die unbestimmten Koeffizienten der Potenzreihen Elemente aus \(\mathfrak k\) einsetzen, was dann die Definition des Residuenvektors ergibt. Für endliches \(\mathfrak k\) findet sich mittels der Residuenformel weiter die der Algebrenklasse von \((\alpha, \beta|\) als einzige Invariante zugehörige Restklasse mod 1 in der expliziten Form \[ \text{Sp Res } \frac{dA}{A} \left(\frac{B_0^{p^{n-1}}}{p^n} + \cdots + \frac{B_{n-1}}{p}\right) \text{ mod } 1. \] Dabei bezeichnen \(A\), \(B_i\) solche Potenzreihen in \(t\) über dem \(p\)-adischen Körper zu \(\mathfrak k\) als Restklassenkörper, daß ihre Koeffizienten jeweils bei Übergang zur Restklasse mod \(p\) in die Koeffizienten von \(\alpha\), \(\beta_i\) übergehen.
Schließlich wird folgende Verallgemeinerung des Residuensatzes auf einen algebraischen Funktionenkörper \(k\) mit vollkommenem Konstantenkörper der Charakteristik \(p\) für den Grad \(p^n\) angegeben: \[ \sum_{\mathfrak p} \mathfrak p\text{-Res} \,\frac{d\alpha}{\alpha}\, \beta = 0, \] wo \(\mathfrak p\) alle Primdivisoren von \(k\) durchläuft und der zuvor eingeführte Residuenvektor für die einzelnen \(\mathfrak p\)-adischen Erweiterungen von \(k\) zu verstehen ist.

Reviewer: Hasse, H., Prof. (Göttingen)

JFM Section:

Zweiter Halbband. Dritter Abschnitt. Arithmetik und Algebra. Kapitel 5. Gruppentheorie. Abstrakte Algebra. B. Ringe, Körper.