Sopra le condizioni necessarie per la semicontinuità degli integrali dei problemi variazionali di ordine \(n\). (Italian) JFM 63.0485.01

Cinquini, S.

Ann. Scuola norm. sup. Pisa (2) 6, 149-178 (1937).

Es werden die notwendigen Bedingungen für die Halbstetigkeit der Integrale von der Form \[ I_{C[n]}^{[n]}=\int\limits_{a}^{b} f \left( x, \, y(x), \dfrac{dy(x)}{dx}, \cdots \!, \dfrac{d^ny(x)}{dx^n} \right) \, dx \] aufgestellt. Während Verf. in einer früheren Arbeit über die hinreichenden Bedingungen ohne weiteres die Tonellischen Beweise auf das vorliegende Problem übertragen konnte, waren hier allerhand Modifikationen nötig. Die notwendigen Bedingungen für Halbstetigkeit nach unten lauten \[ f_{y^{(n)}\,y^{(n)}} \geqq 0 \tag{1} \] und \[ E(x, \, y, \, y', \ldots \!, y^{(n)},\, \tilde{y}^{(n)}) \equiv \tilde{f}-f-(\tilde{y}^{(n)}-y^{(n)}) f_{y^{(n)}} \geqq 0 \tag{2} \] (für beliebige \(\tilde{y}^{(n)}\)). Soll \(I_{C[n]}^{[n]}\) im ganzen Definitionsgebiet des Integranden halbstetig sein, so muß (1) und (2) dort überall erfüllt sein. Für die Halbstetigkeit auf einer Kurve \(C^{(n)}\,(y=y(x)\) mit stetigem \(y^{(n-1)}\) und so, daß \(I_{C[n]}^{[n]}\) existiert) ist notwendig, daß (1) und (2) überall gelten, wo \(y^{(n)}\) endlich ist, mit Ausnahme höchstens einer Punktmenge vom Maß null.
Hieraus folgert man in bekannter Weise, daß (1) und (2) längs jeder “Minimante” des Variationsproblems fast überall gelten müssen: Das sind die notwendigen Bedingungen von Legendre und Weierstraß.

Reviewer: Boerner, H., Dr. (München)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 15. Variationsrechnung.