Nuovi teoremi di esistenza dell’ estremo in campi illimitati per i problemi di calcolo delle variazioni di ordine \(n\). (Italian) JFM 63.0485.02

Cinquini, S.

Ann. Scuola norm. sup. Pisa (2) 6, 191-209 (1937).

In einer früheren Arbeit (Sopra l’esistenza della soluzione nei problemi di calcolo delle variazioni di ordine \(n\), Ann. Scuola norm. sup. Pisa (2) 5 (1936), 169-190; F. d. M. 62\(_{\text{II}}\)) hatte der Verf. Bedingungen für die Existenz eines Minimums beim Integral \[ J^{(n)}=\int\limits_{a}^{b} f(x, \, y,\, y', \ldots \!,y^{(n)}) \, dx \] hergeleitet, von denen eine wesentliche darin bestand, daß \(J^{(n)}\) gegen \(+\infty\) konvergiert, wenn die Integrationswege \(C_{\nu}\) einerseits (im Raume \(R_n\) der Variablen \(x, \, y, \ldots \!,y^{(n-1)}\)) stets einen Punkt einer festen beschränkten Menge enthalten, anderseits Punkte enthalten, deren Entfernung vom Nullpunkt mit \(\nu\) ins Unendliche wächst.
Verf. zeigt nun, daß diese etwas unhandliche Bedingung durch einfachere Aussagen über die Vergleichskurven ersetzt werden kann, welche darin bestehen, daß die Werte von \(y,\, y', \ldots \!,y^{(n)}\) an geeigneten Stellen unter einer festen Grenze bleiben. Unter den vielen Einzelergebnissen sei das folgende als besonders einfach herausgegriffen:
Es genügt die Annahme, daß das für die Vergleichskurven vorgeschriebene Gebiet im \(R_n\) der Bedingung \(|\,y\,| \leqq M\) genügt.
Weitere Entwicklungen des Verf. beschäftigen sich damit, die in den Extremsbedingungen auftretende Forderung: \[ f(x, \, y,\, y', \ldots \!,y^{(n)}) \geqq \varPhi(|\,y^{(n)}\,|) \] (\(\varPhi(z)\) definiert für \(z > 0\), nach unten beschränkt, \(\lim\limits_{z \to \infty}\varPhi(z)=+\infty\)) durch weniger einschneidende zu ersetzen.
Ein Beispiel zeigt, daß die Ergebnisse der vorliegenden Arbeit und der am Anfang zitierten sich nur überschneiden, da einige Ergebnisse der ersten Arbeit sich nicht in die der zweiten einbauen lassen.

Reviewer: Radon, J., Prof. (Breslau)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 15. Variationsrechnung.