Quelques théorèmes sur les fonctions indépendantes. (French) JFM 64.0214.01

Marcinkiewicz, J.; Zygmund, A.

Studia math., Lwów, 7, 104-120 (1938).

Es bezeichne \(B\) eine Menge, \(x \,(t)\) eine Funktion von \(t\). Man setze \[ \underset{t} E \,(x \,(t) \in B) = Bx. \] \(B_1, \,B_2, \,B_3, \ldots\) seien Borelsche Mengen. Die Folgen \(\{x_n \,(t) \}\) und \(\{x_n^{\prime} \,(t) \}\) seien “gleichmeßbar” (équimesurables), d. h. \(|\, B_n \,x_n \,|=|\, B_n \,x_n^{\prime} \,|\), und unabhängige Funktionen (vgl. Kac, Studia Math., Lwów, 6, 46-58; F. d. M. 62\(_{\text{I}}\), 273). Dann ist \[ |\, B_1 \,x_1 \cdot B_2 \,x_2 \cdot B_3 \,x_3 \cdots \,| = |\, B_1 \,x_1^{\prime} \cdot B_2 \,x_2^{\prime} \cdot B_3 \,x_3^{\prime} \cdots \,|. \]
Weiter zeigen die Verf:
\(\{ f_n \,(x_1, \,x_2, \ldots \!,x_n) \}\) sei eine Folge stetiger Funktionen. \(x_n \,(t)\) und \(x_n^{\prime} \,(t)\) seien gleichmeßbare unabhängige Funktionen. Dann sind die Maße der Konvergenzmengen der Folgen \[ F_n(t)=f_n\left(x_1 \,(t), \,x_2 \,(t), \ldots \!,x_n \,(t) \right) \] und \[ F_n^{\prime}(t)=f_n \left(x_1^{\prime} \,(t), \,x_2^{\prime} \,(t), \ldots \!,x_n^{\prime} \,(t) \right) \] gleich.
Nach Ergänzung einiger früherer Sätze der Verf. (Sur les fonctions indépendantes, Fundam. Math., Warszawa, 29 (1937), 60-90; F. d. M. 63\(_{\text{II}}\)) untersuchen sie, gestützt auf die vorangehenden Resultate, die Konvergenzeigenschaften der unabhängigen Funktionen \(\{x_{\nu} \,(t) \}\), z. B.: Wenn \[ \lim_{m, \,n \to \infty} \int\limits_{0}^{1} |\, S_n-S_m \,|^p \,dt=0 \qquad (0<p<\infty) \] mit \(S_n=\sum\limits_{\nu=1}^{n} x_{\nu} \,(t)\) gilt, so konvergiert \(\sum\limits_{\nu=1}^{\infty} x_{\nu} \,(t)\) fast überall. Daraus folgt nach dem Vorgang von Lévy (Calcul des probabilités (1925; F. d. M. 51, 380), S. 195-197): Notwendig und hinreichend dafür, daß \(\sum\limits_{\nu=1}^{\infty} x_{\nu} \,(t)\) fast überall konvergiert, ist die gleichmäßige Konvergenz des unendlichen Produktes \[ \prod\limits_{\nu=1}^{\infty} \int\limits_{0}^{1} e^{i \, \theta \, x_{\nu} \,(t)} \,dt \] in jedem endlichen \(\theta\)-Intervall. (IV 16.)

Reviewer: Hammerstein, A., Prof. (Kiel)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 3. Theorie der reellen Funktionen. D. Approximationen, Darstellungen und Reihen.