Sur les fonctions \(2^n \,t-[2^n \,t]-\frac{1}{2}\). (French) JFM 64.0214.02

Kac, M.

J. London math. Soc. 13, 131-134 (1938).

Im Anschluß an seine Arbeit in Studia Math. 6 (1936), 46-58 und die zusammen mit Steinhaus ebenda, S. 59-66 veröffentlichte (vgl. F. d. M. 62\(_{\text{I}}\), 273-274) beweist Verf. auf Grund der dort gegebenen Sätze und Methoden: Es sei \[ \mu_n \,(t)=2^n \,t-[2^n \,t]-\tfrac{1}{2}; \] \(|\, \underset{t} E \,(\alpha<F \,(t) < \beta) \,|\) bezeichne das Maß der \(t\)-Menge, für die \(\alpha < F \,(t) < \beta\) ist. Dann ist \[ \lim_{n \to \infty} \, \left| \, \underset{t} E \left( \alpha < \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{n}} \sum_{\varkappa=1}^{n} \mu_{\varkappa} \,(t) < \beta \right) \,\right| = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int\limits_{\alpha}^{\beta} e^{-y^2} \,dy. \] Ferner ist die Reihe \(\sum\limits_{\varkappa=1}^{\infty} c_{\varkappa} \, \mu_{\varkappa} \,(t)\) fast überall konvergent bzw. divergent, je nachdem \(\sum\limits_{\varkappa=1}^{\infty} c_{\varkappa}^2\) konvergiert oder nicht.

Reviewer: Hammerstein, A., Prof. (Kiel)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 3. Theorie der reellen Funktionen. D. Approximationen, Darstellungen und Reihen.