Proof of a theorem of Paley. (English) JFM 64.0227.02

Zygmund, A.

Proc. Cambridge philos. Soc. 34, 125-133 (1938).

Ist \(f(x)\) eine mit \(2\pi\) periodische Funktion der Klasse \(L\), so sei \[ f(x) \sim \tfrac 12 a_0 + \sum_{n=1}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx) \] ihre Fourierreihe, und es seien \(s_n(x)\) deren Teilsummen. Es handelt sich um die folgenden Zusammenhänge: A.Kolmogoroff (Fundam. Math., Warszawa, 4 (1923), 324-328; F. d. M. 49, 205 (JFM 49.0205.*)) hat eine Funktion \(f (x)\) der Klasse \(L\) konstruiert, deren Fourierreihe fast überall divergiert. Dagegen ist nicht bekannt, ob es auch Funktionen \(f (x)\) dieser Art gibt, die einer Klasse \(L^p\) mit \(p > 1\) angehören. Man weiß jedoch für den Fall \(p = 2\):
(A) Ist \((n_k)\) eine beliebige Folge natürlicher Zahlen mit \(\dfrac {n_{k+1}}{n_k} > q > 1\), so konvergiert die Folge \(\{s_{n_k}(x)\}\) fast überall gegen \(f (x)\) (A. Kolmogoroff, Fundam. Math., Warszawa, 5 (1924), 96-97; F. d. M. 50, 206 (JFM 50.0206.*)).
(B) Zu fast jedem \(x\) gibt es eine im allgemeinen von \(x\) abhängige Zerlegung der Folge der natürlichen Zahlen in zwei Teilfolgen \((m_k)\) und \((n_k)\) derart, daß \(s_{n_k}(x) \to f (x)\) strebt und \(\sum\limits_{k} \dfrac 1{m_k}\) konvergiert (A. Zygmund, Mathematica, Cluj, 9 (1935), 86-88; F. d. M. \(61_{\text{II}}\), 1121).
Nach J. E. Littlewood und R. E. A. C. Paley (Proc. London math. Soc. 42 (1936), 52-89; F. d. M. \(63_{\text{I}}\), 214) gilt (A) allgemeiner für jede Klasse \(L^p\) mit \(p > 1\); der Satz wird dagegen falsch für \(L\) selbst. Entsprechend wird nun in der vorliegenden Arbeit bewiesen, daß auch Satz (B) allgemeiner für \(L^p\) mit \( p > 1\) gilt. (Dieses Ergebnis stammt von R. E. A. C. Paley, der es dem Verf. mitgeteilt hat, ohne die Einzelheiten seiner Beweisführung anzugeben.) Verf. fügt noch ohne Ausführung des Beweises einen Satz hinzu, der zeigt, daß auch (B) für die Klasse \(L\) selbst falsch wird.

Reviewer: Lösch, F., Prof. (Rostock)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 3. Theorie der reellen Funktionen. D. Approximationen, Darstellungen und Reihen.

Citations:

JFM 49.0205.*; JFM 50.0206.*