On the solutions of quasilinear elliptic partial differential equations. (English) JFM 64.0460.02

Morrey, C. B. jun.

Trans. Amer. math. Soc. 43, 126-166 (1938).

In Verallgemeinerung einer Arbeit von E. Hopf (Math. Z. 30 (1929), 404-413; F. d. M. \(55_{\text{II}}\), 898) über den analytischen Charakter von Lösungen zweidimensionaler Variationsprobleme beweist Verf. zunächst die Lösbarkeit des elliptischen Differentialgleichungssystems \[ v_x = - (b_2u_x + cu_y + e),\quad v_y = au_x + b_1u_y + d\quad (4ac - (b_1 + b_2)^2 \geqq m > 0) \tag{1} \] für fast alle Punkte eines gegebenen beschränkten Jordanschen Gebietes \(R\), auf dessen Rande für \(u\) als Randwerte die Werte irgend einer in \(\overline R\) stetigen harmonischen Funktion mit endlichem Dirichletschen Integral vorgeschrieben sind. Die Koeffizienten sind beschränkt und meßbar. Dann genügt das Lösungssystem \(u\), \(v\) einer Hölder-Bedingung, deren Konstanten ihrerseits nur von der Schranke für die Koeffizienten und die Randwerte, sowie vom Abstände vom Rande des Gebiets abhängen. Die ersten Ableitungen existieren fast überall, und ihre Quadrate sind in jedem abgeschlossenen Teilgebiet integrabel. Der Existenzbeweis für das allgemeine System (1) wird durch eine topologische Abbildung der Klasse \(C'\) auf die Betrachtung des speziellen Systems \(v_\xi = - u_\eta + E\), \(v_\eta = u_\xi + D\) zurückgeführt. Der Beweis für die Existenz und Stetigkeitseigenschaften dieser Abbildung (einer Verallgemeinerung der konformen Abbildung), die auch an sich von Interesse ist, nimmt den weitaus größten Raum ein. Aus der Theorie der elliptischen Differentialgleichungen wird dabei nur der Existenzsatz für die Gleichung \[ \frac\partial{\partial x} (aX_x + bX_y) + \frac\partial{\partial y} (bX_x + cX_y) = 0 \] bei analytischem \(a\), \(b\), \(c\) benutzt. Weiterhin wird noch ein Kompaktheitssatz bewiesen. Als erste Anwendung folgt die Verschärfung des Hopfschen Satzes (l. c.) über die Lösungen der Variationsaufgabe für das Integral \[ \iint f(x, y, z, p, q)\, dx\, dy\qquad (f_{pp}f_{qq} - f_{pq}^2 > 0, \;f_{pp} > 0), \] insofern für die Holder-Stetigkeit der zweiten Ableitungen nur erforderlich ist, daß die Lösung einer gleichmäßigen Lipschitzbedingung genügt. Schließlich folgt noch ein Existenzsatz für quasilineare elliptische Differentialgleichungen für den Kreis durch Zurückführung mittels sukzessiver Approximation auf das Problem für die lineare Gleichung. Die hierfür wesentliche Abschätzung der Lösung und ihrer Ableitung sowie der Holderkonstanten der zweiten Ableitung wird durch Zurückführung auf ein System der im ersten Teile behandelten Art für die beiden ersten Ableitungen erreicht. (IV 15.)

Reviewer: Tautz, G., Dr. (Breslau)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 13. Theorie der partiellen Differentialgleichungen vom elliptischen Typus. Potentialtheorie.