Fixed points and the extension of the homeomorphism of a planar graph. (English) JFM 64.0596.03

MacLane, S.; Adkisson, V. W.

Amer. J. Math. 60, 611-639 (1938).

\(G\) sei ein abstrakter planarer Graph. Ist \(G_1\) ein auf der Kugelfläche \(S\) gelegenes Modell von \(G\), \(\tau\) eine topologische Abbildung von \(S\) auf sich, die \(G_1\) auf sich abbildet, so induziert \(\tau(S)\) einen Automorphismus \(\sigma\) von \(G\). Wann kann man das Modell \(G_1\) auf \(S\) so wählen, daß jeder Automorphismus \(\sigma\) von \(G\) durch eine Abbildung \(\tau(S)\) induziert wird? (Die Frage, wann jedes Modell \(G_1\) von \(G\) auf \(S\) die Eigenschaft hat, daß alle Automorphismen von \(G\) durch Abbildungen \(\tau(S)\) induziert werden, haben die Verf. in der Arbeit: Planar graphs whose homeomorphisms can all be extended for any mapping on the sphere, Amer. J. Math. 59 (1937), 823-832 (F. d. M. \(63_{\text{II}}\)) behandelt.)
Da jeder Automorphismus \(\sigma(G)\) periodisch ist, kommt es hier im wesentlichen auf die periodischen Abbildungen \(\tau(S)\) an, die bekanntlich nach der Struktur der Fixpunktmengen klassifiziert werden können. Beschränkt man sich auf zyklisch zusammenhängende Graphen \(G\), so entsprechen den Fixpunkten von \(\tau\) drei Arten, von “kombinatorischen Fixelementen” von \(\sigma\), je nach dem, ob ein Fixpunkt von \(\tau\) in eine Ecke oder eine Kante von \(G_1\) oder in ein durch \(G_1\) bestimmtes Gebiet fällt: Fixecken, Fixkanten und Fixkreise, d. h. einfach geschlossene Kantenzüge, die durch \(\sigma\) (unter Erhaltung des Umlaufsinns) fixpunktfrei auf sich abgebildet werden. Verf. zeigen: Abgesehen von dem Ausnahmefall, daß \(G\) der aus zwei Ecken und vier diese beiden Ecken verbindenden Kanten bestehende Graph ist, gibt es zu einem zyklisch zusammenhängenden Graphen \(G\), bei dem jede Ecke zu mindestens drei Kanten gehört, dann und nur dann ein Modell \(G_1\) auf \(S\) von der Eigenschaft, daß jeder Automorphismus \(\sigma\) von \(G\) durch eine topologische Abbildung \(\tau(S)\) induziert wird, wenn G keinen Automorphismus \(\sigma\) der Ordnung 2 \((\sigma^2 = 1)\) besitzt, dessen kombinatorische Fixelemente von einem der beiden folgenden Typen sind: (a) Ein Kreis \(C\), dessen sämtliche Kanten und Ecken Fixelemente sind, und eine nicht zu \(C\) gehörende Fixkante oder Fixecke; (b) ein Fixkreis \(C\) und drei weitere kombinatorische Fixelemente, wobei, wenn eines dieser Fixelemente ein Fixkreis \(D\) ist, die beiden anderen (in einem kombinatorisch festgelegten Sinne) auf derselben Seite von \(D\) liegen sollen. (Im besonderen hat also ein Graph \(G\), der gar keinen Automorphismus der Ordnung 2 zuläßt, die verlangte Eigenschaft.) Zum Beweis werden durch zwei Ecken bestimmte “Spaltungen” von \(G\) herangezogen. Mittels Spaltungen wird \(G\) in nicht weiter spaltbare “Minimalkomponenten” zerlegt, die durch Kanten zwischen den spaltenden Ecken ersetzt werden. Man hat dann schließlich den Satz für gewisse einfache Typen von Graphen zu beweisen. Es zeigt sich, daß man für gewisse Klassen von zueinander konjugierten Automorphismen der Ordnung 2, die sogenannten ambigen Automorphismen, noch vorschreiben kann, ob sie durch die Indicatrix erhaltende oder umkehrende Abbildungen der Sphäre induziert werden sollen.

Reviewer: Pannwitz, Erika, Dr. (Berlin)

JFM Section:

Erster Halbband. Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 2. Topologie.