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The geometry of determinantal loci. (English) JFM 64.0693.04

XXVIII \(+\) 483 p. Cambridge, University Press (1938).
Analytische und synthetische Methoden gleichmäßig verwendend, behandelt das ausgezeichnete, auf vielen Einzeluntersuchungen des Verf. aufbauende Werk in erschöpfender Weise die sogenannten Determinantenmannigfaltigkeiten, Im \(n\)-dimensionalen projektiven Raume \([n]\) seien \(x_{ij}\) (\(i = 1,\ldots, p; \;j= 1,\ldots, q)\) \(pq\) lineare Funktionen der Koordinaten, die in eine Matrix \(|x_{ij}|\) von \(p\) Zeilen und \(q\) Spalten gereiht werden. Werden alle Determinanten \((r + 1)\)-ter Ordnung gleich null gesetzt; \(|x_{ij}|_r = 0\), so liefern diese Gleichungen im \(R_n\) eine Mannigfaltigkeit der Dimension \(n - (p - r)(q - r)\), deren Ordnung nach C. Segre gleich: \[ N = \dfrac{1}{r!}\left\{\begin{matrix} p+q-r-1 \\ r\end{matrix}\right\}: \left\{\begin{matrix} p-1 \\ r\end{matrix}\right\}\cdot \left\{\begin{matrix} q-1 \\ r\end{matrix}\right\} \] ist, wobei \[ \left\{\begin{matrix} l \\ m\end{matrix}\right\} = \dfrac{l!(l - 1)!(l 2)!\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots 1}{m!(m-1)!\,\ldots 1.(l-m)!(l-m-1)!\, \ldots 1} \] ist, und die “Determinantenmannigfaltigkeit” genannt und mit \((|p, q|_r, [n])\) bezeichnet wird. Determinantenmannigfaltigkeiten sind projektiv erzeugbar. Wird nämlich die zu \([p -1]\) in \([n]\) duale Mannigfaltigkeit mit \(]p -1[\) bezeichnet, so gehen durch \(]p -1[\) \(\infty^{r(p-r)}\) Räume \([n - p + r]\) hindurch. Werden nun die \([n - p + r]\) von \(q\) solchen \(]p -1[\) projektiv aufeinander bezogen, so erzeugen ihre Schnittpunkte eine Determinantenmannigfaltigkeit \((|p, q|_r\, [n])\).
Als einfachste und bekannteste Beispiele werden einleitend besprochen die Kegelschnitte und Flächen zweiter Ordnung sowie die kubischen Raumkurven und Flächen. Ihre mehrdimensionalen Verallgemeinerungen sind die nun ausführlichst abgehandelten projektiv erzeugbaren oder Determinantenmannigfaltigkeiten.
Es möge nun ein Gang durch die Kapitelüberschriften den reichen Inhalt des Werkes so gut als möglich verdeutlichen, der nur durch knappe Erläuterungen unterbrochen werden kann.
Kap. 1: Einige Grundideen der projektiven Geometrie (Lineare Mannigfaltigkeiten und ihre Verknüpfung, rationale (Veronesesche) Mannigfaltigkeiten, ihre Tangentialräume und Abbildung, allgemeine algebraische Mannigfaltigkeiten, Normalmannigfaltigkeiten, Graßmannsche Mannigfaltigkeiten, Schuberts Abzählungsprinzip).
Teil I: Durch Matrizen allgemeiner Form definierbare Mannigfaltigkeiten. Kap. 2: Projektiv erzeugbare Mannigfaltigkeiten. Definitionen und elementare Eigenschaften. Kap. 3: Birational verwandte und ausgeartete Determinantenmannigfaltigkeiten. Kap. 4: Paarungssätze und Satz von der Doppel-\(N\). (Verallgemeinerung der Doppelsechs der Fläche dritter Ordnung, deren beider Erzeugungsweisen und ihrer Eigenschaften auf höhere Dimensionen.) Kap. 5: Die Schlüsselmannigfaltigkeiten. (Determinantenmannigfaltigkeiten eines \([pq - 1]\) heißen Schlüsselmannigfaltigkeiten vom Typus \(|p, q|\). Von Sonderfällen abgesehen, kann jede \((|p, q|_r, [n])\) erhalten werden als Schnitt einer Schlüsselmannigfaltigkeit \((|p, q|_r, [pq 1])\) mit einem \([n]\). Anwendung auf Paarungs- und Doppel-\(N\)-Sätze und eine geometrische Konstruktion der selbstdualen Doppel-\(N\).) Kap. 6: Determinantenhyperflächen. (Als solche werden die \(D_{n-1}^q (|q, q|, [n])\) der Ordnung \(q\) bezeichnet. Die beiden Systeme, durch die sie erzeugt werden können, sind von gleicher Dimension. Paarungssätze, Entartungen, Abbildung auf die \(D_{q-1}^q\).) Kap. 7: Bestimmung der Konstantenzahl, von denen eine projektiv erzeugte Mannigfaltigkeit abhängig ist. (Algebraische und geometrische Methoden. Sonderfälle.)
Teil II: Mannigfaltigkeiten, die durch Matrizen von besonderer Gestalt definiert sind. Kap. 8: Die Schlüsselmannigfaltigkeiten von Typen, die durch symmetrische Determinanten definiert sind: Die Veronesemannigfaltigkeiten von quadratischen Mannigfaltigkeiten. (Die durch \(|y_{\alpha\beta}|_r = 0\) (\(\alpha,\beta = 1,\ldots, q\)) definierten Mannigfaltigkeiten heißen, falls die linearen Funktionen \(y_{\alpha\beta}\) der Koordinaten des \([n]\) symmetrisch sind: \(y_{\alpha\beta} = y_{\beta\alpha}\), “symmetrische Determinantenmannigfaltigkeiten”. Sie werden durch \((S\, |q, q|_r, [n])\) bezeichnet. Die \((S\, |q, q|_1, [\nu - 1])\) mit \(\nu = q(q + 1){:}2\) sind die Veronesemannigfaltigkeiten der quadratischen Mannigfaltigkeiten des \([q - 1]\), insbesondere ist die \((S\, |3, 3|_1, [5])\) die zu den Kegelschnitten der Ebene gehörige Veronesefläche des \(R_5\), die \((S\, |4, 4|_1, [9])\) ist die Veronesemannigfaltigkeit, welche zu den Flächen zweiter Ordnung des \(R_3\) gehört. Vgl. Head, Proc. Edinburgh math. Soc. (2) 5 (1936), 14-25 (JFM 62.0785.*) und Mayor, Amer. J. Math. 56 (1934), 372-380 (JFM 60.0601.*).) Kap. 9: Hyperflächen, die durch symmetrische Determinanten dargestellt werden können. (Mannigfaltigkeiten, die durch symmetrische Determinanten definiert sind, Mannigfaltigkeiten \((\prod |p, q|, [n])\), die Örter sind der zu den Punkten eines \([p-1]\) konjugierten Punkte hinsichtlich aller quadratischen Mannigfaltigkeiten eines linearen \((q - 1)\)-fachen Systems. Für \(n=p - 1\) ergibt sich die Kegelspitzenmannigfaltigkeit des Systems. Beziehungen zwischen \(S\)- und \(\prod\)-Mannigfaltigkeiten, Paarungssätze für \(\prod\)-Mannigfaltigkeiten. Paarungssätze für \(S\)-Hyperflächen. Lürothsche Hyperflächen \(L_{n-1}^q\) sind \(S\)-Mannigfaltigkeiten der Gleichung \(|y_{\alpha\beta}| = 0\), mit \(y_{\alpha\beta} = y_{\beta\alpha} = z_0 + \delta_{\alpha\beta}z_\alpha\) (\(\delta_{\alpha\beta} = \) Kroneckersymbol). Man kann sie durch die involutorische “reziproke Inversion” \(x_\gamma' = x_\gamma^{-1}\) aus den Hyperebenen gewinnen. Die Coblesche Gruppe reziproker Inversionen, ihre Hauptflächen und Gleichungen. Vgl. Coble, Amer. J. Math. 52 (1930), 439-500; 57 (1935), 183-218; Bull. Amer. math. Soc. 41 (1935), 209-222 (JFM 56.0564.*; 61\(_{\text{I}}\), 714-715). Mannigfaltigkeiten, die durch elliptische Normalkurven definiert werden können. Kap. 10: Durch schiefsymmetrische Determinanten definierte Mannigfaltigkeiten. Das sind die Graßmannschen Mannigfaltigkeiten des \([\frac{1}{2}q(q- 1) - 1]\), deren Punkte man durch Deutung der Linienkoordinaten der \([q -1]\) als Punktkoordinaten in diesem höheren Raume erhält. Man kann sie auch definieren als Schnitte der Schlüsselmannigfaltigkeit \((|q, q|, [q^2 - 1])\). Kap. 11: Rationale normale Scharen von Räumen \([k]\). Ihr Typus ist \((|2,q|, [n])\). Eingehende Behandlung der rationalen Normalkurven, der rationalen normalen Regelflächen und der rationalen normalen eindimensionalen \([p - 1]\)-Scharen. Kap. 12: Abbildung der Unterräume \([k]\) von \([m]\) auf Punkte des \([(m - k)(k+ 1)]\). Dabei werden als Basismannigfaltigkeiten die rationalen Normalmannigfaltigkeiten aus Kap. 11 verwendet. Z. B. Abbildung der Geraden des [3] auf Punkte des [4], wobei linearen Komplexen Hyperflächen zweiter Ordnung durch eine feste Fläche zweiter Ordnung entsprechen. Dies ist zugleich der einfachste Fall der hier allgemein behandelten Sempleschen Methode, die \([k]\) des \([m]\) abzubilden. Vgl. Semple, Proc. London math. Soc. (2) 30 (1930), 507 (JFM 56.0576.*). Abbildung auf Graßmannsche Mannigfaltigkeiten. Kap. 13: Sätze über assoziierte Räume und andere Inzidenztheoreme. Verschiedene Betrachtungsweisen der Figur von fünf assoziierten Geraden des [4]. Konfigurationen, die die Figur der zehn Schnittpunkte von fünf assoziierten Ebenen des [4] verallgemeinern, z. B. die Konfigurationen von sechs assoziierten Räumen im [8] und ihre duale; sechs assoziierte [4] und sechs assoziierte Ebenen im [7]. Die Doppelvier von Geraden im [4] und ihre verschiedensten Verallgemeinerungen. Zusammenhänge mit Oskulationsfiguren der rationalen Normalkurven. Allgemeine Segresche Mannigfaltigkeiten. Vgl. Room, Proc. London math. Soc. (2) 37 (1934), 292-337; 42 (1937), 529-545 (JFM 60.0606.*; 63\(_{\text{I}}\), 637). Die Verallgemeinerungen der Figur von drei assoziierten rationalen Normalkurven im [4], insbesondere der Satz von James im [4] und seine Erweiterungen durch Semple und die Verallgemeinerung durch Babbage. Die Sätze von Telling. Vgl. James, Proc. Cambridge philos. Soc. 21 (1923), 664 (F. d. M. 49, 492 (JFM 49.0492.*)); Semple, Journ. London math. Soc. 7 (1932), 266-271 (JFM 58.0725.*); Telling, Proc. Cambridge philos. Soc. 28 (1932), 403-415 (JFM 58.1237.*); Babbage, ebenda 421-426 (JFM 58.0724.*).
Teil III: Determinantenhyperflächen im vierdimensionalen Raume. Kap. 14: Die Fläche sechster Ordnung von Bordiga, eine \((|3, 4|, [4])\). Ihre projektive Erzeugung, Eigenschaften und Abbildung auf eine Ebene. Besondere Bordigaflächen. Die Fläche \((|3, 4|_1, [8])\) der Ordnung 10 im [8], Kap. 15: Hyperflächen, die durch eine gleich Null gesetzte Determinante vierter Ordnung dargestellt werden können. Sie sind das einfachste Analogon der Flächen dritter Ordnung des [3]. Ihre Abbildung auf einen [3]. Die Determinantenhyperfläche vierter Ordnung \((|4, 4|_3, [5])\) in [5] und ihre Doppel-20 von Ebenen. Kap. 16: Einige besondere Determinantenhyperflächen vierter Ordnung in [4]. Nämlich jene mit dreifachem Punkte, jene, die Ebenen tragen, die Hyperfläche von Veneroni, die durch eine symmetrische Determinante darstellbare Hyperfläche \(S^4\) von Roth (Proc. London math. Soc. (2) 30 (1929), 303-318; JFM 55.0388.*-389), die Hyperflächen von Todd (Quart. J. Math. (Oxford Ser.) 6 (1935), 129-136; JFM 61.0720.*), die Hyperfläche von Edge (Acta math., Uppsala, 66 (1936), 253-332, insbesondere 275ff.; JFM 62.0766.*-767), von Segre und jene von Lüroth mit fünf dreifachen Punkten.
Drei Anhänge behandeln noch Veronesesche und Graßmannsche Mannigfaltigkeiten, die charakteristischen Zahlen von gewissen Determinantenmannigfaltigkeiten, die Zahl ihrer Konstanten.
Durch dies Buch von Room besitzen wir heute neben den Lehrbüchern von Reye, Bertini und Baker und dem Enzyklopädieartikel von Segre ein weiteres umfassendes und den genannten kongeniales Werk zur mehrdimensionalen projektiven Geometrie.
Besprechung: V. Snyder; Bull. Amer. math. Soc. 45 (1939), 499-501.