Some algebraic properties of almost periods. (Sur quelques propriétés arithmétiques des presques périodes.) (Ukrainian, French) JFM 65.0268.01

Bogolyubov, N.

Acad. Sci. RSS Ukraine. Inst. Méc. Constr., Ann. Chaire Physique Math. 4, 185-205 (1939).

Verf. beweist den Satz: \(C\) sei eine auf der reellen Achse relativ dichte Menge. Man kann jedem \(\varepsilon > 0\) und \(\eta > 0\) linear unabhängige Zahlen \(\omega_1, \ldots \!, \omega_s\) derart zuordnen, daß jedes \(\tau\), welches den Ungleichungen \[ |\, \tau \, \omega_{\nu}-E(\tau \, \omega_{\nu}) \,| \leqq \varepsilon, \qquad (\nu=1, \,2, \ldots \!, s) \] wo \(E(x)\) die \(x\) zunächstgelegene ganze Zahl bedeutet, genügt, eine Ungleichung \[ |\, \tau-\tau_1-\tau_2 + \tau_3+\tau_4 \,| \leqq \eta \] befriedigt, wobei \(\tau_1, \ldots \!, \tau_4\) Zahlen aus \(C\) sind. Daraus folgert er auf Grund der gleichmäßigen Stetigkeit der fastperiodischen Funktionen, daß man jedem \(\varepsilon\) die Zahlen \(\omega_1, \ldots \!, \omega_s\) so zuordnen kann, daß jedes die Ungleichungen \[ |\, \tau \, \omega_{\nu}-E(\tau \, \omega_{\nu}) \,| \leqq \varepsilon \qquad (\nu=1, \,2, \ldots \!, s) \] erfüllende \(\tau\) Verschiebungszahl zu \(\varepsilon\) ist. Analog wie Bohr für quasiperiodische Funktionen schließt er daraus, daß man zu jedem fastperiodischen \(f(t)\) ein reinperiodisches \(F(x_1, \ldots \!, x_s)\) so herstellen kann, daß \[ |\, f(t)-F(\omega_1 \,t, \ldots \!, \omega_s \,t) \,| \leqq \varepsilon \] ausfällt. Daraus ergibt sich dann der Approximationssatz.

Reviewer: Hammerstein, A., Prof. (Kiel)

MSC:

42A75

Classical almost periodic functions, mean periodic functions

JFM Section:

Erster Halbband. D. Analysis. 6. Fastperiodische Funktionen im Reellen.