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Some infinite integrals involving parabolic functions. (English) JFM 65.0291.01

Die Arbeit enthält:
1) eine Darstellung des Integrales \(\int\limits_{0}^{\infty} x^l \, e^{-\frac{1}{4} x^2} \,D_m(x) \,J_n(ax) \,J_r(x) \,dx\) in den beiden Fällen \(a = 1\) sowie \(r = 0\) in geschlossener Form, im ersten Fall mit Hilfe der verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion \({}_2F_2\), im zweiten Fall mit Hilfe von \({}_1F_1\);
2) einen Beweis, daß zwischen den bezüglich der Hankeltransformation selbstreziproken Funktionen \(f_1(x)=x^{\nu+\frac{3}{2}} \, e^{\frac{1}{4} x^2} \,D_{-2\nu-4}(x)\) und \(f_2(x)=\dfrac{1}{2\nu+3} x^{\nu+\frac{1}{2}} \,e^{\frac{1}{4} x^2} \,D_{-2\nu-3}(x)\) die Transformationsgleichung \(\int\limits_{0}^{\infty} (xt)^{-\frac{1}{2}} \, J_{\nu+1}(xt) \,f_1(t) \,dt=f_2(t)\) besteht;
3) eine Darstellung der beiden Integrale \[ \int\limits_{0}^{\infty} t^{\frac{1}{2}(\mu+\nu+2)} \,e^{-\frac{1}{2}t^2} \, T_{\mu}^n(t^2) \,J_{\frac{1}{2}(\mu+\nu)}(xt) \,dt \quad \text{und} \quad \int\limits_{0}^{\infty} \frac{t^{2\mu+1} \,e^{-\frac{1}{2} x^2t^2}} {(1+t^2)^{\frac{1}{2} \mu+\frac{1}{2} \nu+1}} \,T_{\mu}^n(x^2t^2) \,dt, \] wo \(T_{\mu}^n(x)\) die Soninschen Polynome sind, als endliche Summen von Kummerschen Funktionen \({}_1F_1\).
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