Remarques sur les théorèmes d’isomorphisme. (French) JFM 68.0045.03

Dubreil, P.

C. R. Acad. Sci., Paris, 215, 239-241 (1942).

Die beiden Isomorphiesätze der Gruppentheorie werden auf Gruppoide (Mengen mit einer Verknüpfung, vgl. auch P. Dubreil, Mém. Acad. Sci. Inst. France (2) 63 (1941), 52 S.; F. d. M. 67, 80 (JFM 67.0080.*)) ausgedehnt:
1) \(E\) sei homomorph auf das Gruppoid \(\overline{E}\) abgebildet; falls beide Gruppoide einen gemeinsamen Operatorenbereich besitzen, werde außerdem noch vorausgesetzt, daß der Homomorphismus ein zulässiger ist. Ist \(P\) die Äquivalenz in \(E\), die durch \(x_1\equiv x_2(P)\), wenn für die zugeordneten Elemente \(\overline x_1 = \overline x_2\) ist, erklärt ist, so entspricht jeder \(P\) enthaltenden Äquivalenz \(\mathfrak R\) in \(E\) eine Äquivalenz \(\overline{\mathfrak R}\) in \(\overline E\) und umgekehrt. \(\mathfrak R\) und \(\overline{\mathfrak R}\) sind beide gleichzeitig regulär und zulässig und die Quotientengruppoide \(E/\mathfrak R\) und \(\overline{E/\mathfrak R}\) sind zulässig isomorph.
2) Mit \(P_M\) bezeichnen wir die Äquivalenz \(P\), wenn sie nur auf der Teilmenge \(M\) von \(E\) betrachtet wird, mit \(S=P(M)\) die Gesamtheit aller zu einem Element aus \(M\) äquivalenten Elemente aus \(E\). Ist nun \(P\) im Gruppoid \(E\) eine reguläre und zulässige Äquivalenz, so ist es auch \(P_M\) in \(M\), \(S\) ist eine zulässige Untergruppe, in der \(P_S\) regulär und zulässig ist, und es gilt der zulässige Isomorphismus \(M/P_M\simeq S/P_S\).

Reviewer: Köthe, G., Prof. (Gießen)

JFM Section:

C. Arithmetik und Algebra. 4. Gruppentheorie. e) Verallgemeinerungen.

Citations:

JFM 67.0080.*