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The transformation of series and sequences. (English) JFM 68.0132.01

Die Arbeit faßt drei nur lose zusammenhängende Noten zusammen.
I. Mannigfaltigkeiten von Hausdorffschen Mitteln. Es sei \(\mathfrak B\) die Klasse der Funktionen \(\varphi (u)\), die in \(\langle 0, 1\rangle \) schwankungsbeschränkt sind, und (*) \(c_p=\int\limits_{0}^{1}u^p\,d\varphi (u)\). Mit \((H, \varphi )\) oder \((H, c_p)\) werde das zugehörige Hausdorffsche Limitierungsverfahren bezeichnet (s. Math. Z. 9 (1921), 74-109). Es ist bekanntlich dann und nur dann regulär, wenn \(\varphi (u)\) bei 0 stetig und \(\varphi (1)-\varphi (0)=1\) ist. Es soll wesentlich regulär heißen, wenn \(\varphi (u)\) bei 0 stetig, aber \(\varphi (1)-\varphi (0)=c_0\neq0\) beliebig ist. Die Note geht nun von der Bemerkung aus, daß, wenn in (*) \(u^p\) durch allgemeinere Funktionen ersetzt wird, \((H, \varphi )\) für jedes \(\varphi \) aus \(\mathfrak B\) wesentlich regulär sein kann. Sie stellt sich demgemäß die Frage nach notwendigen und hinreichenden Bedingungen für eine Funktionenfolge \(\{\beta _p(u)\}\), für die (**) \(c_p=\int\limits_{0}^{1}\beta _p(u)\,d\varphi (u)\) für jedes \(\varphi \) aus \(\mathfrak B\) eine Momentfolge und \((H, c_p)\) wesentlich regulär ist. Die Gesamtheit der bei fester Folge \(\{\beta _p(u)\}\) sich ergebenden Verfahren wird die Mannigfaltigkeit \(M(\beta _p)\) und \(\{\beta _p\}\) ihre Basis genannt. \(M\) heißt regulär, wenn sie wenigstens ein reguläres Verfahren und sonst nur wesentlich reguläre Verfahren enthält. – Von den sehr zahlreichen Sätzen und Einzelheiten seien die folgenden genannt:
1. Damit \(\{\beta _p(u)\}\) die Basis einer Mannigfaltigkeit bilde, ist notwendig, daß jedes \(\beta _p(u)\) in \(\langle 0, 1\rangle \) stetig sei und bei festem \(u\) eine Momentfolge bilde; und hinreichend, wenn außerdem \(\{\beta _p(u)\}\) bei festem \(u\) eine vollmonotone Folge bildet.
2. Eine im Sinne von 1. vollmonotone Basis \(\{\beta _p(u)\}\) ist dann und nur dann Basis einer regulären Mannigfaltigkeit, wenn \(\beta _0(u)\not\equiv 0\) ist und \(\varDelta ^k\beta _0(u)\to0\) strebt (\(k\to\infty \), \(u\) fest).
3. Die Folge \(\{\beta _p(u)\}\), deren Glieder in \(\langle 0, 1\rangle \) reell und stetig sind \((\beta _0(u)\not\equiv 0)\), ist eine Basis, falls eine vollmonotone Basis \(\{\pi _p(u)\}\) existiert, so daß stets \(\varDelta ^k\beta _p(u)\leqq \varDelta ^k\pi _p(u)\) ist.
Von einer Mannigfaltigkeit \(M(\beta _p)\) wird gesagt, daß sie ein reguläres Verfahren \((H, b_p)\) einschließt, falls jedes reguläre Verfahren aus \(M\) das Verfahren \((H, b_p)\) einschließt. Unter dieser Definition gilt:
4. Dies ist dann und nur dann der Fall, wenn \(\biggl\{\dfrac{\beta _p(u)}{b_p}\biggr\}\) Basis einer regulären Mannigfaltigkeit ist.
5. Die Folgen \(\beta _p(u)=\dfrac{u+1}{u+(p+1)^k}\), \(k\) positiv-ganz, sind Basis einer regulären Mannigfaltigkeit \(M_{k}\).
6. \(M_1\) schließt das \(C_1\)-Verfahren ein, nicht aber das \(C_k\)-Verfahren für \(k > 1\); \(M_k\) schließt \(C_k\) ein, aber nicht \(C_{k'}\) für \(k' > k\).
Der Rest dieses Teils beschäftigt sich eingehender mit der Folge \(\beta _p(u)=\dfrac{1}{1+pu}\) und den durch \(g(x)=\displaystyle \int\limits_{0}^{1}\frac{d\varphi (u)}{1+xu}\) definierten \(\bigl(H, g(p)\bigr)\)-Verfahren, deren Eigenschaften mit denen dor zugehörigen (Stieltjesschen) Kettenbrüche zusammenhängen. Ist \(\varphi (u)\) monoton, so ist dies Verfahren im \(C_1\)-Verfahren enthalten, ihm dann und nur dann äquivalent, wenn \(\displaystyle \int\limits_{0}^{1}\frac{d\varphi (u)}{u}\) konvergiert. Es ist dann und nur dann konvergenzgleich (d. h. der gewöhnlichen Konvergenz äquivalent), wenn \(\varphi (u)\) in \(u = 1\) unstetig ist.
II. Gronwallsche Summierbarkeit. Es werden alle Verfahren bestimmt, die gleichzeitig Hausdorffsche und Gronwallsche Verfahren sind (s. Gronwall, Ann. Math., Princeton, (2) 33 (1932), 101-117; JFM 58.0225.*). Das Ergebnis lautet: Ein reguläres \((H, c_p)\)-Verfahren ist dann und nur dann ein Gronwallsches \((f, g)\)-Verfahren, wenn \[ c_p=\beta ^p\bigg/{p+\alpha \choose p}=\int\limits_{0}^{1}u^p\,d\varphi (u),\;\;\begin{cases} p=0,1,2,\dots,\\ \alpha \geqq 0,\;\;0<\beta \leqq 1,\end{cases} \] ist mit \[ \varphi (u)=\begin{cases} 1-(1-u\beta ^{-1})^\alpha \;\;\text{in}\;\;u\leqq \beta,\\ 1\;\;\text{in}\;\;u>\beta .\end{cases} \] Das \((f, g)\)-Verfahren, das mit diesem identisch ist, hat \[ f(w)=\frac{\beta w}{1-(1-\beta )w},\;\;g(w)=\frac{1}{(1-w)^{\alpha +1}}. \] Von einem von W. A. Mersman (Bull. Amer. math. Soc. 44 (1938), 280-299; JFM 64.0173.*) eingeführten Limitierungsverfahren, das auf der Transformation von \(s_{p}\) in \(t_q=\dfrac{1}{2^{2q}}\sum\limits_{p=0}^{q}\displaystyle {2q+1\choose q-p}\,s_p\) beruht, wird gleichfalls gezeigt, daß es ein \((f, g)\)-Verfahren ist.
III. Ein Summierungsverfahren, das von einem Algorithmus von I. Schur ausgeht. Dieser Algorithmus (s. I. Schur, J. reine angew. Math. 147 (1917), 205-232; 148 (1918), 122-145; F. d. M. 46, 475 (JFM 46.0475.*)) bezieht sich auf die Darstellung von Funktionen, die im Einheitskreise regulär und beschränkt sind. Er führt in dem jetzigen Zusammenhange betrachtet zu einem Limitierungsverfahren \((S)\), das auf der linearen Transformation von \(s_{p}\) in \(t_q=\dfrac{1}{2^{2q+1}}\sum\limits_{p=0}^{q}\displaystyle {2q+2\choose q-p}\,s_p\) beruht. Es erweist sich als äquivalent mit dem in II genannten Mersmanschen Verfahren, ist aber selbst kein Gronwallsches Verfahren. Schließlich wird der genaue Bereich angegeben, in dem \(x^p\) zum Werte 0 \(S\)-limitierbar ist, und gezeigt, daß das de la Vallée Poussinsche \(V\)-Verfahren im \(S\)-Verfahren enthalten ist, aber nicht umgekehrt.

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References:

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