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On the Gaussian law of errors in the theory of additive functions. (English) Zbl 0021.20702

Eine zahlentheoretische Funktion \(f(m)\) heißt additiv, wenn \(f(m_1m_2) = f(m_1)+f(m_2)\) für \((m_1, m_2)=1\) gilt. Es sei \(f(p^\alpha) = f(p)\) und \(|f(p)| \leq 1\) für jede Primzahl \(p\) (es genügt auch eine schwächere Voraussetzung), ferner die Folge \(F(n)=\sum_{p<n} f^2 (p) p^{-1}\) divergent. Dann ist für jedes reelle \(\omega\) die natürliche Dichte der ganzen Zahlen \(m\) mit \[ f(m) < \sum_{p<m} {f(p) \over p}+\omega \sqrt{2F(m)} \] gleich \(\pi^{-{1\over 2}} \int_{-\infty}^\infty \exp(-y^2)\, dy\). Dieser Satz sowie zwei Hilfssätze, auf denen der Beweis beruht, werden ohne Beweis angegeben. Für \(\omega = 0\) folgt: Die Dichte der ganzen Zahlen \(m\) mit \(f(m) < \sum_{p<m}{f(p) \over p}\) ist \({1 \over 2}\). Dies wurde im Spezialfall \(f(m)=\) Anzahl der verschiedenen Primteiler von \(m\) bereits von Erdős bewiesen.

MSC:

11N60 Distribution functions associated with additive and positive multiplicative functions

Keywords:

Number theory
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