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On a problem in the theory of uniform distribution. I. (English) Zbl 0031.25402
Die Verff. formulieren folgenden Satz: Liegen alle Nullstellen $z_\nu$ des Polynoms $f(z) = a_0+a_1z+ \cdots +a_n z^n$ außerhalb $|z| < 1$ und ist, für ein festes $\vartheta$ mit $0 < \vartheta < 1$ auf $|z| = \vartheta$, $|f (z)| \le M_\vartheta$, dann gilt, wenn ${M_\vartheta \over \sqrt {|a_0 a_n|}} = e^{n/g(n,\vartheta)}$ gesetzt wird $[n \ge g(n,\vartheta) \ge 2]$, für alle $0\le \alpha < \beta \le 2 \pi$ $$\left|{\sum\!\!\nu}_{\alpha \le \text{arc }z_\nu \le \beta \mod 2\pi}\ 1-{\beta-\alpha \over 2 \pi} \nu \right| < C \log {4 \over \vartheta} {n \over \log g (n,\vartheta )}.\tag 1$$ Beim Beweis soll folgende ”endliche” Form des Gleichverteilungssatzes von H. Weyl verwendet werden. Sind $\varphi_1,..., \varphi_n$ reell und $|s_k| = \left|\sum_{r=1}^n e^{ki\varphi_r} \right| \le \psi(k)$ $(k=1,...,m)$, $m=m(n)\ge 1$, dann gilt für jedes $0\le\alpha <\beta \le 2 \pi$ $$\left|{\sum\!\!\nu}_{\alpha\le \varphi_\nu \le \beta \mod 2\pi}\ 1-{\beta-\alpha \over 2\pi}\right| < C \left({n \over m+1}+\sum_{k=1}^m{\psi(k) \over k} \right).$$ In dieser Note werden die beiden Sätze diskutiert und gezeigt, daß sich die Abschätzung in (1) in bezug auf $n$ nicht weiter verbessern läßt. Weiter wird der Beweis des ersten Satzes vorbereitet, in dem gezeigt wird, daß man ihn auf den Fall zurückführen kann, wo alle $z_\nu$ auf $|z| =1$ liegen.

11K06General theory of distribution modulo 1