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The Markoff and Lagrange spectra. (English) Zbl 0685.10023
Mathematical Surveys and Monographs, 30. Providence, RI: American Mathematical Society (AMS). ix, 97 p. $ 42.00 (1989).
Die vorliegende Monographie gibt einen genauen und umfassenden Einblick in die Theorie des Markoff- und des Lagrangespektrums. Die Verfasser haben in jüngerer Zeit selbst prominente Beiträge zur Auflärung der Struktur der Spektren geleistet und in das Werk eingearbeitet, welches dank der stark vereinheitlichenden und ökonomischen Darstellung auch als Lehrbuch ausgezeichnet geeignet ist. Bei der peniblen Sichtung der Literatur wurden einige grundsätzliche Fehler identifiziert und, wenn möglich, richtiggestellt. Die Behandlung der zahlreichen analogen Approximationsspektren wurde konsequent ausgeklammert. Hier wäre eine ebenso kompetente Aufarbeitung wünschenswert.
In den ersten Kapiteln werden Definitionen und klassische Resultate angegeben. Jeder zweifach unendlichen Folge \(A=(a_ i)\), \(i\in {\mathbb{Z}}\), von natürlichen Zahlen \(a_ i\) ordne man die Zahlen \(\lambda_ i(A)=a_ i+1/(a_{i+1}+1/(a_{i+2}+...]+1/(a_{i-1}+1/(a_{i- 2}+\)...] zu und betrachte die Werte \(L(A)=\limsup \{\lambda_ i(A)\}\) bzw. \(M(A)=\sup \{\lambda_ i(A)\}\). Die Menge aller hierbei auftretenden Werte wird als Lagrangespektrum L bzw. Markoffspektrum M bezeichnet. Über eine Deutung dieser Werte als Minima indefiniter binärer quadratischer Formen erscheinen die Spektren auch als Untersuchungsgegenstand der Geometrie der Zahlen [P. M. Gruber und C. G. Lekkerkerker, Geometry of numbers (1987; Zbl 0611.10017)]. Unterhalb von 3 stimmen L und M überein und bestehen dort aus der sogenannten Markoff-Folge, einer Folge isolierter Werte, die sich bei 3 häufen.
Sodann werden die Beziehungen der Spektren untereinander sowie Struktursätze und Verfeinerungen des zentralen Resultats \(L\subset M\), \(L\neq M\), angegeben. Bekanntlich enthält L (und damit M) oberhalb eines (heute explizit bekannten) Wertes alle reellen Zahlen. Die Frage ist eng mit der Struktur von Summen von Cantormengen verknüpft. Hier werden grundlegende Ergebnisse des ersten Autors beschrieben.
Ein eigenes Kapitel beschäftigt sich mit der Identifizierung von maximalen Lücken in beiden Spektren, wofür beide Autoren wesentliche Hilfsmittel entwickelt haben. Es folgt ein Abriß der metrischen Theorie von Teilen des unteren Spektrums. Nach ersten Ergebnissen um 1940 von I. J. Good und den Anstößen, die C. A. Rogers mit seinem Buch “Hausdorff measures” 1970 gegeben hat, sind die Namen J. R. Kinney und T. S. Pitcher, sowie neueste aufwendige Untersuchungen von R. Bumby hervorzuheben.
Im letzten Kapitel schließlich werden alternative Zugänge zu den Spektren behandelt, die von der Gruppe \(\Gamma =SL(2,{\mathbb{Z}})\) ausgehen. So baute P. J. Nicholls die Methode der Fordkreise aus. Eine andere Charakterisierung der Markoff-Folge beruht auf einer bestimmten Untergruppe von \(\Gamma\). Interessante und ausbaufähige Querverbindungen zur algebraischen Geometrie stammen von H. Cohn.
Reviewer: G.Ramharter

MSC:
11J04 Homogeneous approximation to one number
11J70 Continued fractions and generalizations
11H50 Minima of forms
11-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory
11K16 Normal numbers, radix expansions, Pisot numbers, Salem numbers, good lattice points, etc.
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