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The theory of transformation groups IV. (Theorie der Transformationsgruppen IV.) (German) JFM 10.0260.01

Auch diese Abhandlung zerfällt in zwei Abschnitte. Im ersten Abschnitte wird gezeigt, dass jede Gruppe von Punkttransfortmationen eines \(n\)-fach ausgedehntet Raumes, die \(n^2\) oder \(n^2-1\) unabhängige infinitesimale Transformationen erster Ordnung enthält, durch Einführung von zweckmässigen unabhängigen Variabeln in die allgemeine lineare Gruppe oder in eine Untergruppe derselben übergeführt werden kann. Eine solche Gruppe hat daher keine infinitesimale Transformation von dritter oder höherer Ordnung. Sie hat entweder keine auch \(n^2\) infinitesimale Transformationen von der zweiten Ordnung.
Der letzte Abschnitt bestimmt alle Gruppen von Berührungstransformationen einer Ebene. Es giebt nur drei solche Gruppen, die sich nicht in Gruppen von Punkttransformationen umwandeln lassen. Typen derselben sind die zehngliedrige Gruppe, die alle Kreise in Kreise umwandelt, zusammen mit einer sieben- und einer sechsgliedrigen Untergruppe.
Wenn eine Gruppe vorgelegt ist, kann man immer jede Differentialgleichung \[ f(x\, y\, y'\dots y^{(n)})=0 \] angeben, die die Gruppe gestattet. Hierauf gründet sich, wie der Verfasser schon 1874 (Gött. Nachr., siehe F. d. M. VI. p. 93, JFM 06.0093.01) angegeben hat, eine Classification der gewöhnlichen Differentialgleichungen zwischen zwei Variabeln und zugleich eine Integrationsmethode solcher Gleichungen, die überhaupt eine Transformationsgruppen besitzen.

Citations:

JFM 06.0093.01
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