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Sui multipli di una serie lineare di gruppi di punti appartenente ad una curva algebrica. (Italian) JFM 25.1035.02

Dieser Aufsatz vermehrt die hübsche und reiche Sammlung von Arbeiten, welche der Erforschung der Eigenschaften der Curven gewidmet sind, die in beliebig ausgedehnten Räumen enthalten sind, d. h. der eindimensionalen Mannigfaltigkeiten, welche in einem Raum \(R_r\) \(r^{\text{ter}}\) Dimension enthalten sind. Die Mannigfaltigkeiten \(V\) \((N-1)^{\text{ter}}\) Dimension und \(k^{\text{ter}}\) Ordnung von \(R_r\) bestimmen auf \(C\) eine lineare Reihe, deren Ordnung \(nk\) und deren Dimension \(r_k\) ist, wo \(n\) die Ordnung von \(C\) ist. Welches ist der Wert von \(r_k\)? Oder wie vielen einfachen Bedingungen für eine \(V\) ist das Enthalten der Curve \(C\) gleich zu achten? Dies ist die wichtige Frage, deren Beantwortung den Hauptzweck des zum Bericht stellenden Aufsatzes bildet.
Nennt man \(\chi\) die ganze Zahl, welche durch folgende Einschränkung bestimmt wird: \[ \frac{n-1}{r-1} - 1 < \chi < \frac{n-1}{r-1}, \] und \(p\) das Geschlecht von \(C\), so findet der Verf., dass \[ r_k\leqq kn - p \] ist; im Falle, dass das Zeichen \(<\) gilt, ist der Unterschied \((kn-p)-r_k\) höchstens dem Unterschiede gleich zwischen \(p\) und dem Maximalgeschlechte \(\pi\) einer Curve der Ordnung \(n\) in \(R_r\). Ist insbesondere die Curve eben und \(k\geqq n-2\), so hat man \[ r_k = kn - p - (\pi - p); \] wenn aber \(C\) in \(R_r\) enthalten ist, jedoch keinen vielfachen Punkt hat, so gilt die Gleichung: \[ r_k = kn - p. \] Im Falle, dass \(C\) singuläre Punkte hat, findet der Verf. einen Ausdruck des Unterschieds \((kn-p)-r_k\), aus welchem erhellt, dass die grösste Zahl von Doppelpunkten, welche eine Curve der Ordnung \(n\) und des Geschlechts \(p\) haben kann, durch \(\pi-p\) ausgedrückt ist. Endlich bemerkt Herr Castelnuovo, dass nur im Falle \(r=2\) die Differenz \((kn-p)-r_k\) durch die Vielfachheiten der singulären Punkte allein ausdrückbar ist.
Dieses sind etwa die Hauptresultate der Arbeit. Nicht minder bemerkenswert sind die angewandten Methoden, welche den Stempel der Strenge, der Eleganz und der Originalität tragen, die alle Schriften von Herrn Castelnuovo kennzeichnen.

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References:

[1] On the rational Transformation betwen two spaces (Proceedings of the London Math. Society, vol. 3, 1870).
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