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On functions of real variables. (Sur les fonctions de variables réelles.) (French) JFM 30.0359.01

Annali di Mat. (3) 3, 1-123 (1899); auch sep. Diss. Milano: Bernadoni de C. Rebeschini (1899).
“Wenn wir die Begriffe der Mengenlehre im grossen und ganzen der schöpferischen Phantasie Georg Cantor’s verdanken”, so äussert sich Schoenflies in seinem Berichte über die Mengenlehre (vergl. Referat im nächsten Bande, JFM 31.0070.08), “so sind es doch wesentlich andere, die sich ihre Anwendung auf die Analysis zum Ziel setzen. In erster Linie habe ich A. Harnack zu nennen; ihm verdanken wir trotz erheblicher Irrtümer mancherlei wertvolle Theoreme. In neuerer Zeit sind es hauptsächlich die französischen Mathematiker, die sich ihrer für die Zwecke der Analysis und der Geometrie bedient und sie zur Grundlage der Begriffsbestimmungen gemacht haben. Ich nenne z. B. C. Jordan und E. Borel; was man mit ihnen erreichen kann, hat kürzlich auch R. Baire erkennen lassen.” Da Schoenflies auf die vorliegende wichtige Arbeit im dritten Abschnitte seines Berichtes ausführlich eingegangen ist, möge es genügen, die drei Hauptprobleme anzugeben, mit denen sich der Verf. beschäftigt.
1. Nachdem Osgood (F. d. M. 27, 193, 1896, JFM 27.0193.01; 28, 221, 1897, JFM 28.0221.01) die Frage nach der Darstellung stetiger Functionen durch Fundamentalreihen stetiger Functionen vollständig erledigt hat, leistet Baire dasselbe für die Darstellung unstetiger Functionen durch stetige. Seine Untersuchungen gipfeln in dem Satze: Die notwendige und hinreichende Bedingung für die Darstellbarkeit einer Function \(g(x)\) besteht darin, dass es keine perfecte Menge giebt, in Bezug auf die \(g(x)\) total unstetig ist. Eine Verallgemeinerung der Fragestellung ergiebt sich, wenn man mehrfach unendliche Reihen als Darstellungsmittel benutzt. Auch hierauf wird in der Abhandlung eingegangen, ohne dass jedoch ein abschliessendes Ergebnis erzielt würde.
2. Wenn eine Function von zwei Veränderlichen \(x\), \(y\) stetig ist in Bezug auf \(x\) bei constantem \(y\) und in Bezug auf \(y\) bei constantem \(x\), so kann die Folge der Werte der Function auf einer Curve im Gebiete der \(x,\,y\) sehr wohl unstetig sein. Allein die so entstehenden unstetigen Functionen sind wiederum durch die Eigenschaft charakterisirt, dass es keine perfecte Menge giebt, in Bezug auf die sie total unstetig sind. Auch hier ist eine Verallgemeinerung möglich, indem man Functionen von drei und mehr Veränderlichen betrachtet; für drei Veränderliche wird die Untersuchung begonnen, aber nicht zu Ende geführt.
3. Die Integration von Differentialgleichungen unter dem Gesichtspunkte der Realität stösst auf grosse Schwierigkeiten, wenn man von der gesuchten Function nur die Eigenschaften voraussetzt, die dazu genügen, dass die Differentialgleichung einen Sinn hat. Bei der gewöhnlichen Integrationsmethode der Gleichung \[ X\frac{\partial f}{\partial x} + Y\frac{\partial f}{\partial y} = 0 \] wird vorausgesetzt, dass \(f\) und seine beiden ersten Ableitungen stetig sind. Der Verf. zeigt, dass das Resultat auch noch gilt, wenn man von \(f\) die Stetigkeit, von den Ableitungen aber nur die Existenz voraussetzt.

MSC:

26A15 Continuity and related questions (modulus of continuity, semicontinuity, discontinuities, etc.) for real functions in one variable
26B05 Continuity and differentiation questions
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References:

[1] On dit qu’un ensemble estdense par rapport à un domaine si son ensemble dérivé contient tous les points de ce domaine. Voir, par exemple:Borel,Leçons sur la th\.eorie des fonctions, page 38.
[2] U. Dini,Fondamenti, etc. page 103.
[3] Cf. § 13.
[4] Cf.Dini,Fondamenti, etc.
[5] Acta Mathematica, Tome II.
[6] VoirActa, Tome II.
[7] VoirCantor,Acta Mathematica, Tome II, page 360.
[8] Les démonstrations de ces théoremes se trouvent dans le Mémoire deM. Bendixson (Acta, T. II). J’aurai d’ailleurs occasion plus loin (§ 47), d’établir sur les ensembles des théorèmes qui comprendront ceux-ci comme cas particuliers.
[9] Acta, Tome II, page 388.
[10] Une démonstration tres simple du théoréme deWeierstrass a été donnée parM. Lebesgue dans une Note:Sur l’approximation des fonctions. (Bulletin des sciences mathématiques, novembre 1898.)
[11] Volterra,Alcune osservazioni sulle funzioni punteggiate disconlinue. (Giornale di Battaglini, 1881.) · JFM 13.0339.01
[12] Voir à ce sujet:Borel:Leçons sur la théorie des fonctions, Notes I et III.
[13] Cf.Dini,Fondamenti, etc., page 190.
[14] L. Scheeffer,Acta Mathematica, Tome V, page 289.
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