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Analysis situs. (English) JFM 38.0510.14
Enzyklop. d. math. Wissensch. $\text{III}_{1}$, 153-220 (1907).
Nachdem in der historischen Einleitung des Artikels (III A B 3) die Definition {\it Listings} von der Analysis situs in Erinnerung gebracht ist, wird nach {\it F. Klein} diese Definition so formuliert: Die Aufgabe der Analysis situs besteht in der Aufstel;lung aller derjenigen Eigenschaften räumlicher Gebilde, die sich invariant gegenüber der Gruppe aller stetigen Transformationen des Raumes. Als erste Untersuchungen aus diesem Gebiete erscheinen bei {\it Euler} das Königsberger Brückenproblem, die Polyederformel, die Aufgabe des Rösselsprungs. ,,Das Erscheinen von {\it Listings} Vorstudien zur Topologie (1847) bezeichnet den Zeitpunkt, nach welchem die Analysis situs als eine selbständige mathematische Diszplin hervortritt. Doch erst die {\it Riemann}schen Untersuchungen und seine Verwertung derselben für die Funktionentheorie lenkten die allgemeine Aufmerksamkeit der Mathematiker auf die Analysis situs. Weitere Arbeitsgebiete sind den Forschungen in unserer Diszplin gewonnen erstens durch die Arbeiten von {\it Betti} und die in neuere Zeit fallenden Arbeiten von {\it Poincaré} (vor allem Ausdehnung auf vieldimensionale Räume), zweitens durch die Arbeiten insbesondere der englischen Schule, z. B. repräsentiert durch {\it Tait}, die die Verknotung der Raumkurven und die Komplexe verschiedener Grundgebilde (“Bäume”, “Graphen”) behandeln.” {\it Inhaltsübersicht}. Fistorische Einleitung. {\it Grundlagen}. 1. Definition von Punkt-, Linien- und Flächensystemen und der ein- und zweidimensionalen Mannigfaltigkeiten. 2. Indikatrix. 3. Interne Transformation und Homöomorphismus (Elementarverwandtschaft), (Äquivalenz). 4. Elementarmannigfaltigkeiten (Kreis und Kugel). 5. Ausdehnung auf $n$ Dimensionen. 6. Komplexe mit Singularitäten. 7. Externe Transformation - Homotopie und Isotopie. 8. Das Anschauungsgebiet. 9. Einteilung der Analysis situs. 10. Die methode. A. {\it Complexus}. 1. Übersicht. 2. Liniensysteme. 3. Höhere Komplexe und die (komplektische) {\it Euler}sche Formel ({\it Betti}sche Zahlen, Torsionskoeffizienten). 4. Benutzung von nektischen Methoden für die Theorie höherer Komplexe. B. {\it Nexus}. I. Nexus von Linien. II. Nexus von Flächen. 1. Einleitung. 2. Normalform. 3. Lösung des Hauptproblems. 4. Anwendungen der Normalform. a) Beweis des {\it Neumann}schen Axioms. b) {\it Möbius}sche Grundform für eine Fläche. c) Minimalzahl von bedeckenden Elementarflächenstücken. d) Normalformen für geschlossene Flächen. 5. Rückkehrschnitte und Querschnitte und die eigentliche {\it Euler}sche Formel. 6. Zusammensetzung von Flächen. 7. Äquivalenz von Kurven auf Flächen. 8. Analytischgeometrische Entwicklungen. C. {\it Connexus}. I. Homotopie. II. Isotopie. A. Kurven. 1. Eine Kurve (Verknotung). 2. Mehrere Kurven (Verkettung). B. Flächen und mehrdimensionale Mannigfaltigkeiten. D. {\it Mannigfaltigkeiten mit Singularitäten}. 1. Allgemeine Probleme. 2. {\it Riemann}sche Flächen. “Von den beiden Verfassern hat {\it Heegaard} die literarischen Vorarbeiten zum Artikel geliefert und übrigens an der Ausarbeitung wesentlichen Anteil genommen; verantwortlich für die endgültige Fassung des Artikels ist {\it Dehn}”.
Reviewer: Lampe, Prof. (Berlin)