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Sur un problème mixte relatif à l’équation de {\it Laplace}. () JFM 41.0854.12
Krakau Anz. (A), 313-344 (1910).
Es sei $(D)$ ein zusammenhängendes räumliches Gebiet, dessen Begrenzung $\Sigma$ folgende Eigenschaften hat. $\Sigma$ hat überall eine bestimmte, stetige Tangentialebene. Ist $\Delta$ die Entfernung zweier beliebigen Punkte von $\Sigma$ und $\vartheta$ der von den zugehörigen Innennormalen eingeschlossene Winkel, so ist $\vartheta>c\Delta$, worin $c$ eine gewisse Konstante bezeichnet. Es sei $(S)$ ein von einer endlichen Anzahl zusammenhängender Teilstücke von $\Sigma$ gebildetes Gebiet, $(S')$ der Rest von $\Sigma$. Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der folgenden Randwertaufgabe. Es ist diejenige beschränkte, in $(D)$ reguläre Potentialfunktion zu bestimmen, die auf $(S)$ eine vorgeschriebene stetige Folge von Werten annimmt, und deren Normalableitung auf $(S')$ vorgegebene stetige Werte erhält. Es wird zunächst die folgende Aufgabe aufgelöst: Es ist das {\it Newton}sche Potential $v$ einer auf $(S)+(S')$ ausgebreiteten einfachen Flächenbelegung zu bestimmen, deren Dichte auf $(S')$ vorgegeben ist, wenn man weiß, daß auf $(S)$ überall $v=0$ ist. Dieses Problem wird mit Hülfe eines dem alternierenden Verfahren von {\it H. A. Schwarz} nachgebildeten Verfahrens erledigt. Durch diese Betrachtungen ergibt sich zugleich die Lösung des folgenden Problems. Es ist eine in dem ganzen Raume, außer auf $(S)$, reguläre Potentialfunktion zu bestimmen, die auf den beiden Seiten von $(S)$ eine vorgeschriebene stetige Folge von Werten annimmt. Es sei $A$ irgendein Punkt außerhalb $(S)$. Es wird jetzt einer {\it Green}sche Funktion $G(A,B)$ eingeführt, die folgende Eigenschaften hat. $G(A,B)$ ist diejenige für alle $B$ außerhalb $(S)$, außer für $A=B$, reguläre Potentialfunktion, die auf $(S)$ verschwindet und in der Umgebung von $A$ sich wie $\frac{1}{\overline{AB}}$ verhält. Unter Zuhülfenahme dieser {\it Green}schen Funktion wird das vorgelegte Problem auf die Auflösung einer der {\it Fredholm}schen Theorie zugänglichen Integralgleichung zurückgeführt. Hierbei wird über die Werte $h$, welche die gesuchte Lösung auf $(S)$ annimmt, folgendes vorausgesetzt: Es gibt eine in $(D)$ reguläre Potentialfunktion, die auf $(S)$ gleich $h$ ist, und deren Normalableitung auf $(S')$ stetig ist. Diese Bedingung ist z. B. erfüllt, wenn $h$ den Wert bezeichnet, den eine Funktion auf $(S)$ annimmt, die durchweg stetig ist und in einem Gebiete, das $(S')$ ganz in seinem Innern enthält, stetige Ableitungen erster und zweiter Ordnung hat.
Reviewer: Lichtenstein, Dr. (Berlin)