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The general theory of {\it Dirichlet}’s series. (English) JFM 45.0387.03
Cambridge University Press (1915).
Nachdem die beiden Verf. in Kapitel I die notwendigen Definitionen vorausgeschickt haben, beweisen sie in Kapitel II die bekannten elementaren Sätze über die Existenz der Halbebenen bedingter und absoluter Konvergenz allgemeiner {\it Dirichlet}scher Reihen $\sum_{n=0}^{\infty}a_ne^{- \lambda_ns}$ und im Kapitel III nach der {\it Perron}schen Methode die Formel für die Darstellung der Koeffizientensumme einer {\it Dirichlet}schen Reihe durch ein bestimmtes Integral. Das Hauptinteresse gewinnt das kurze, aber inhaltsreiche und anregende Buch durch die ausführliche Auseinandersetzung der {\it Riesz}schen Theorie der Summation {\it Dirichlet}scher Reihen durch typische Mittel. Kapitel IV und V enthalten die Definition der typischen Mittel und die fundamentalen Sätze über Summation beliebiger unendlicher Reihen durch typische Mittel, die {\it Riesz} bereits in drei Noten der C. R. vom Jahre 1909 veröffentlicht hat (vgl. F. d. M. {\it 40}, 314, 1909). In den beiden folgenden Kapiteln werden die {\it Riesz}schen Summationsmethoden auf die {\it Dirichlet}schen Reihen angewandt und erweisen sich als zeckmäßige Verallgemeinerung der {\it Cesàro}schen Mittelbildungen, die {\it Bohr} bei den {\it Dirichlet}schen Reihen des speziellen Typus $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}$ untersucht hat. Über die {\it Bohr}schen Resultate ist bereits in den F. d. M. {\it 40}, 313, 1909 ausführlich berichtet worden. Die in diesem Referat unter den Nummern 1. bis 8. angeführten Resultate werden in den Kapiteln VI und VII sämtlich auf die Summation allgemeiner {\it Dirichlet}scher Reihen durch typische Mittel sinngemäß übertragen. Besonderes Interesse verdienen ferner einige, allerdings ohne Beweis angegebenen Sätze des Kapitels VI, die eine bekannte, auf {\it Tauber} zurückgehende Problemstellung bei Potenzreihen für die {\it Dirichlet}sche Reihen behandeln; es werden hier auch die wichtigen {\it Hardy-Littlewood}schen Verschärfungen des {\it Tauber}schen Satzes berücksichtigt. Siehe F. d. M. {\it 42}, 276, 1911; {\it 43}, 312, 1912; {\it 44}, 283, 1913. Das Kapitel VII enthält auch den {\it Bohr}schen Satz über die Halbebene gleichmäßiger Konvergenz {\it Dirichlet}scher Reihen (vgl. F. d. M. {\it 44}, 307, 1913) und einige Verallgemeinerungen dieses Satzes über die gleichmäßige Konvergenz der typischen Mittel. Das letzte Kapitel beschäftigt sich mit der Multiplikation {\it Dirichlet}scher Reihen. Auch hier führt die Methode der typischen Mittel zu schönen Resultaten, die sich in den Sätzen formulieren lassen: Ist die Reihe $f(s)$ für $s=s_0$ absolut konvergent und ist $g(s)$ für $s=s_0$ durch typische Mittel von der Ordnung $\alpha$ summierbar, so ist ihr {\it Dirichlet}sches Produkt $f(s_0)g(s_0)$ von der Ordnung $\alpha$ summierbar. Wird von $f(s)$ nur vorausgesetzt, daß es für $s=s_0$ durch typische Mittel von der Ordnung $\beta$ summierbar ist, so ist das {\it Dirichlet}sche Produkt $f(s_0)g(s_0)$ durch typische Mittel von der Ordnung $\alpha+\beta+1$ summierbar. Bei vielen für die Theorie der {\it Dirichlet}schen Reihen grundlegenden Sätzen, so z. B. bei dem sogenannten {\it Schnee-Landau}schen Satz, bei dem {\it Landau}schen Satz über Multiplikation, konnte auf das {\it Landau}sche Handbuch (vgl. F. d. M. {\it 40}, 232, 1909) verwiesen werden, das die diesbezüglichen Beweise bereits in mustergültigen Darstellungen enthält.
Reviewer: Hamburger, H.; Prof. (Berlin)

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