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Nozione di parallelismo in una varietà qualunque e conseguente specificazione geometrica della curvatura riemanniana. (Italian) JFM 46.1125.02
Duch A. Einstein’s Theorie der Schwere ist die lang vernachlässigte Geometrie Riemann’s, die auf der Maßbestimmung durch ein beliebiges Bogenelement \[ ds^2=\sum_{i, k=1}^n a_{ik}(x_1, \dots, x_n)dx_idx_k \] beruht, wieder in den Vordergrund gerückt worden. Levi-Civita erzielt in der vorliegenden Arbeit einen wesentlichen Fortschritt in der Geometrie Riemann’s dadurch, daß es ihm gelingt, den elementaren Begriff des Parallelismus auf den Riemnannschen Raum sinngemäß zu verallgemeinern. Dadurch ist ein neuer und leichter gangbarer Weg zur Krümmungstheorie gebahnt. Hat man eine Kurve \(x_j(s)\) gegeben mittels ihrer Bogenlänge \(s\), so daß \[ \sum \;a_{ik}\frac{dx_i}{ds}\;\frac{dx_k}{ds}=1 \] wird, so sagt man, daß die längs dieser Kurve gegebenen Vektoren \(\xi^i(s)\), deren Koordinaten \(\xi^i\) sich wie die \(dx_i\) substituieren, parallel sind, wenn die invarianten Gleichungen gelten \[ (1) \quad \frac{d\xi^i}{ds}+\sum_{i, j} \left\{ \begin{matrix} jl \\ i \end{matrix} \right\}\frac{dx_j}{ds}\;\xi^l=0. \] Diese Formeln, in denen die \(\left\{ \begin{matrix} jl \\ i \end{matrix} \right\}\) Christoffels Symbole bedeuten, gehen aus den Differentialgleichungen der geodätischen Linien \[ (2) \quad \frac{d^2x_i}{ds^2}+\sum_{i, j} \left\{ \begin{matrix} jl \\ i \end{matrix} \right\}\frac{dx_j}{ds}\;\frac{dx_l}{ds}=0 \] durch eine Art Polarenbildung hervor und nach der neuen Auffassung sind die geodätischen Linien dadurch gekennzeichnet, daß sie “zu sich selbst parallel” verlaufen. Verschiebt man das Bündel der Vektoren \(\xi^j\) längs einer Kurve \(x_i(s)\), so bleiben die Längen und Winkel der Vektoren ungeändert. Hat man zwei verschiedene Stellen \(x_i\) und \(\overline{x_i}\) im Raume, so ist der Parallelismus der Bündel von Vektoren an diesen beiden Stellen im allgemeinen davon abhängig, auf welche Art man \(x_i\) und \(\overline{x_i}\) durch eine Kurve \(x_i(s)\) verbindet. Es handelt sich also um einen Parallelismus längs einer Kurve. Verlangt man, daß der Parallelismus vom Weg unabhängig sein soll, so kommt man durch die Integrabilitätsbedingungen von (1) ganz naturgemäß auf Riemann’s Krümmungstensor und findet, daß die Unabhängigkeit vom Wege für den Raum Euklids kennzeichnend ist. Levi-Civita ist zu seinem Parallelismus dadurch geführt worden, daß er sich seine Riemannsche Maßbestimmung zunächst an einer Fläche verwirklicht denkt, die in einen Euklidischen Raum eingebettet ist. Hat man dann auf der Fläche eine Kurve und auf dieser Kurve zwei benachbarte Punkte und durch sie zwei Richtungen berührend der die Fläche, so heißen die “parallel”, wenn der Parallelismus im Euklidischen Sinne näherungsweise erfüllt ist. Invariant ohne Einbettung in einen Euklidischen Raum kann man den neuen Parallelismus so erklären: man braucht nur zu fordern, daß die Richtungsänderung \(\frac{d\xi^j}{ds}\) an einer Stelle des Raumes verschwindet, wo die Koordinaten \(x_i\) so gewählt sind, daß die \(a_{ik}\) stationäre Werte haben.
In Zukunft wird man bei einer systematischen Darstellung der Geometrie Riemann’s zweckmäßig den Parallelismus von Levi-Civita zum Ausgangspunkt nehmen. (VII.)

Subjects:
Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 6. Differentialgeometrie. E. Gebilde in Räumen von mehr als drei Dimensionen.
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