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Primzahlprobleme in der Analysis. (German) JFM 56.0172.02
Verf. beweist: Für $\vartheta>1-\dfrac{1}{33000}$ gilt $$ \psi (x+x^\vartheta) -\psi(x) = x^\vartheta + o (x^\vartheta),\tag1 $$ wobei $$ \psi(x)=\sum_{p^m\leqq x}\log p\tag2 $$ gesetzt ist und $m$ eine positive ganze Zahl bedeutet. Beim Beweis von (1) wird die {\it Mangoldt}sche Formel in der Form $$ \psi(x+h)-\psi(x)=h+O\biggl(\dfrac{h}{x^2}\biggr)\sum{}^*\dfrac{(x+h)^\varrho-x^\varrho}{\varrho}\tag3 $$ benutzt; dabei durchläuft $\varrho= \beta + i\gamma$ in $\sum^*$ die Nullstellen von $\zeta (s)$. Aus einem {\it Landau}schen Satz über $\sum ^* \dfrac{x^\varrho}{\varrho}$ folgt ferner, daß die Differenz $$ \sum{}^*\dfrac{(x+h)^\varrho-x^\varrho}{\varrho}-\sum _{|\gamma|<T} \dfrac{(x+h)^\varrho-x^\varrho}{\varrho}\tag4 $$ für $$ \dfrac{x}{T}(\log x)^2=o(h)\tag5 $$ selbst ein $o(h)$ ist. Es ist also erforderlich, für $T$ unter der Annahme (5) die Gültigkeit von $$ \sum_{|\gamma|<T}\dfrac{(x+h)^\varrho-x^\varrho}{\varrho}=o(h)\tag6 $$ zu zeigen. Hierbei benutzt Verf. insbesondere folgende Tatsachen: I. Den {\it Carlson}schen Satz (vgl. das vorangehende Referat). II. Den Satz, daß eine Konstante $A$ existiert, so daß für kein $\varrho$ $$ \beta >1-A \dfrac{\log\log \gamma}{\log \gamma} $$ ist. III. Folgende Verschärfung des {\it Carlson}schen Satzes: $$ N(\sigma,T)<T^{1-(2\sigma -1)^2}(\log T)^6. $$ Beim Beweis von III werden Ergebnisse des Verf. aus der vorstehend besprochenen Arbeit sowie von {\it Ramanujan} und {\it Wilson} (1922; F. d. M. 48, 1216 (JFM 48.1216.*)) herangezogen. Eine Verschärfung des Satzes (1) der vorliegenden Arbeit hängt von einer Verbesserung der Sätze II und III ab.
Reviewer: Müller, Klaus; Studienassessor (Finsterwalde)